Question

Спектр второго порядка от волны с длиной 682 нм получен под углом 3,4° (3°24ʹ ). Под каким углом будет получен спектр третьего порядка при прохождении через эту же решетку волны с длиной 548 нм?

Answer 1

Если бы длина волны не поменялась, то спектр третьего порядка виден был бы под углом в 1.5 раза больше (углы растут пропорционально номеру спектра). Но чем короче волна, тем меньше углы, также прямо пропорционально. Соответственно

$\beta = 1.5\alpha\cdot\frac{548}{682} \approx 1.2\alpha = 4.08^\circ$

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать условие дифракции на решетке:

$d \cdot (\sin \theta_m) = m \cdot \lambda,$

где:

• $d$ - расстояние между щелями решетки (период решетки),
• $\theta_m$ - угол, под которым наблюдается $m$-ый порядок спектра,
• $m$ - порядок спектра,
• $\lambda$ - длина волны.

В данной задаче у нас есть следующие данные:

1. Длина волны $\lambda = 682$ нм для второго порядка ($m = 2$).
2. Угол наблюдения $\theta_2 = 3.4^\circ = 3^\circ 24'$.

Мы можем найти период решетки $d$ для второго порядка, используя указанные данные. Затем мы сможем использовать этот период решетки для нахождения угла наблюдения $\theta_3$ для третьего порядка ($m = 3$) с длиной волны $\lambda_3 = 548$ нм.

1. Найдем период решетки $d$ для второго порядка: $d \cdot (\sin \theta_2) = 2 \cdot \lambda,$

Подставляя значения, получаем: $d \cdot (\sin 3.4^\circ) = 2 \cdot 682 \, \text{нм}.$

2. Теперь найдем угол наблюдения $\theta_3$ для третьего порядка: $d \cdot (\sin \theta_3) = 3 \cdot \lambda_3.$

Подставляя значение $d$, полученное из первого шага, мы можем найти $\theta_3$.

Это уравнение можно переписать как: $\sin \theta_3 = \frac{3 \cdot \lambda_3}{d}.$

Известно, что $\sin \theta_3$ не может превысить 1, поэтому, если найденное значение больше 1, это означает, что такой третий порядок не будет наблюдаться.

Теперь давайте решим численно:

1. Найдем $d$: $d = \frac{2 \cdot 682 \, \text{нм}}{\sin 3.4^\circ} \approx 39600 \, \text{нм}.$

2. Найдем $\theta_3$: $\sin \theta_3 = \frac{3 \cdot 548 \, \text{нм}}{39600 \, \text{нм}} \approx 0.0417.$

Теперь посмотрим на значение $\sin \theta_3$. Оно меньше 1, поэтому существует третий порядок для данной длины волны. Найдем сам угол $\theta_3$:

$\theta_3 = \arcsin(0.0417) \approx 2.38^\circ.$

Таким образом, спектр третьего порядка будет получен под углом около $2.38^\circ$.