Question

1 кг воздуха при температуре 15°С и начальном давлении 1 бар адиабатно сжимается до 8 бар. Определить работу, конечный объем и конечную температуру

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

Q = 0 - процесс адиабатный

m = 1 кг

t₁ = 15°C;          T₁ = 273+15 = 288 K

p₁ = 1 бар = 1·10⁵ Па

p₂ = 8 бар = 8·10⁵ Па

i = 5 - число степеней свободы воздуха

M = 29·10⁻³ кг/моль - молярная масса воздуха

______________________

A - ?

V₂ - ?

T₂ - ?

Число молей воздуха:

ν = m/M = 1 / (29·10⁻³) ≈ 34,5 моль

Постоянная Пуассона:

γ = (i + 2) / i = (5+2)/5 = 7/5 = 1,4

Теплоемкость при постоянном объеме:

Cv = i·R/2 = 5·8,31/2 ≈ 20,8 Дж / К

1)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

p₁·V₁ = ν·R·T₁

Первоначальный объем воздуха:

V₁ = ν·R·T₁ / p₁ = 34,5·8,31·288 / (1·10⁵) ≈ 0,83 м³

Из уравнения Пуассона:

p·(V)^γ = const

Имеем:

p₁·(V₁)^γ = p₂·(V₂)^γ

1·0,83^(1,4) = 8·(V₂)^(1,4)

0,77 = 8·(V₂)^(1,4)

V₂ ≈ 0,19 м³

2)

Найдем температуру:

T₁·V₁^(γ-1) = T₂·V₂^(γ-1)

288·0,83^(0,4) = T₂·0,19^(0,4)

T₂ = 288·0,928/0,515 ≈ 520 К

3)

Работа:

A = ν·Cv·(T₁ - T₂) = 24,5·20,8·( 288 - 520) ≈ - 120 кДж

Работа имеет знак "-" , поскольку не газ совершил работу, а работа совершена над газом.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы адиабатического процесса для идеального газа. В данном случае, у нас есть адиабатическое сжатие воздуха, и мы можем воспользоваться уравнением Пуассона:

$PV^\gamma = \text{const},$

где $P$ - давление, $V$ - объем, а $\gamma$ - показатель адиабаты (отношение специфических теплоёмкостей $C_p$ и $C_v$).

Для воздуха $\gamma \approx 1.4$.

Начнем с начальных условий:

• $P_1 = 1 \, \text{бар} = 100 \, \text{кПа}$,
• $V_1$ - начальный объем,
• T_1 = 15 \, ^\circ \text{C} = 288 \, \text{K}.

Перейдем к конечным условиям:

• $P_2 = 8 \, \text{бар} = 800 \, \text{кПа}$,
• $V_2$ - конечный объем,
• $T_2$ - конечная температура.

Используя уравнение Пуассона, мы можем записать:

$P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma.$

Сначала найдем $V_1$:

$V_1 = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \cdot V_2.$

Теперь мы можем найти работу $W$ для адиабатического процесса, используя площадь под кривой $PV^\gamma$ на диаграмме $PV$:

$W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1 - \gamma}.$

Также, для адиабатического процесса, можно использовать закон Бойля-Мариотта:

$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}.$

Отсюда можно найти $T_2$:

$T_2 = \frac{P_2V_2}{P_1V_1} \cdot T_1.$

Теперь, подставив все известные значения, можно вычислить $V_1$, $T_2$, а затем используя $V_1$ вычислить $W$:

1. Рассчитаем $V_1$:

   $V_1 = \left(\frac{800 \, \text{кПа}}{100 \, \text{кПа}}\right)^{\frac{1}{1.4}} \cdot V_2 \approx 5.92 \cdot V_2.$

2. Рассчитаем $T_2$:

   $T_2 = \frac{800 \, \text{кПа} \cdot V_2}{100 \, \text{кПа} \cdot 5.92 \cdot V_2} \cdot 288 \, \text{K} \approx 1423.78 \, \text{K}.$

3. Рассчитаем $W$:

   $W = \frac{800 \, \text{кПа} \cdot V_2 - 100 \, \text{кПа} \cdot 5.92 \cdot V_2}{1 - 1.4} \approx -373.69 \, \text{кДж}.$