Question

Какими должны быть радиус искусственного спутника Земли по круговой орбите и его линейная скорость, чтобы его период вращения был таким же, как и у Земли?

Answer 1

Ответ:

рассчитать геостационарную орбиту

известен период - известна угловая скорость

w=2pi/T

a=w^2*R=MG/R^2=g*Rз^2/R^2

w^2*R=g*Rз^2/R^2

R=(g*(Rз*T/2pi)^2)^(1/3) = (10*(6400000*24*60*60/(2*3,14))^2)^(1/3) = 42640541,88 м ~ 42 640 км (от центра земли)

42 640 км - 6 400 км = 36 240 (от поверхности  земли)

v=w*R = 2pi*R/T = 2*3,14*42640541,88/(24*60*60) м/с =3099,335683 м/с - скорость на геостационарной орбите

траектория для наблюдателя с земли = неподвижная точка на небе

Answer 2

Период вращения спутника вокруг планеты зависит от радиуса его орбиты и массы планеты. Формула, описывающая связь между периодом обращения, радиусом орбиты и массой планеты, называется третьим законом Кеплера:

$T^2 = \frac{4 \pi^2}{G \cdot M} \cdot r^3$

Где:

• $T$ - период обращения спутника (в секундах)
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$)
• $M$ - масса Земли ($5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$)
• $r$ - радиус орбиты спутника от центра Земли (в метрах)

Вы хотите, чтобы период вращения спутника был таким же, как и у Земли, что составляет примерно 24 часа или $86400$ секунд. Подставляя это значение в формулу, можно найти радиус орбиты:

$r^3 = \frac{G \cdot M \cdot T^2}{4 \pi^2}$ $r^3 = \frac{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.972 \times 10^{24} \cdot (86400)^2}{4 \pi^2}$ $r^3 \approx 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.972 \times 10^{24} \cdot 7464960000 \approx 4.218 \times 10^{26}$

Возведя это число в кубический корень, получим приблизительное значение радиуса орбиты:

$r \approx \sqrt[3]{4.218 \times 10^{26}} \approx 42164145 \, \text{м}$

Чтобы найти линейную скорость спутника на этой орбите, можно использовать формулу для линейной скорости в круговой орбите:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$ $v = \frac{2 \pi \cdot 42164145}{86400} \approx 3074 \, \text{м/с}$

Итак, для того чтобы искусственный спутник имел такой же период обращения, как Земля (около 24 часов), его радиус орбиты должен быть примерно $42164145$ метров (около 42164 км), а линейная скорость - примерно $3074$ м/с.