Question

Помогите 1.Санки массой 2 кг, скатываясь с высокой горки, вновь въезжают на горку, радиус кривизны которой 2,5 м. Чему равен вес санок в верхней точке, если скорость их в этой точке 3 м/с? При какой скорости санок в верхней точке они будут в состоянии невесомости? 2. По кривой какого радиуса проедет велосипедист , если он движется со скоростью 6 м/с? Предельный угол наклона велосипедиста к дороге 50 градусов.

Answer 1

1. Дано:

m = 2 кг

R = 2,5 м

v = 3 м/с

Найти:

P = ?

Решение:

В задаче просят рассмотреть движение по окружности. Санки в верхней точке горки имеют вес, равный силе реакции опоры в этой точке. Проанализируем эти вертикальные силы.

Санки, въезжая на горку, движутся криволинейно, а значит скорость санок меняет своё направление. Следовательно, санки движутся по горке с ускорением. Из второго закона Ньютона известно, что тело приобретает ускорение, если на него действует сила, а также то, что направление силы точно такое же, как и направление ускорения. И т.к. санки движутся по горке (по окружности), то их ускорение и сила, удерживающая санки на поверхности горки, направлены к центру кривизны горки (к центру окружности). В верхней точке эта сила - центростремительная - будет складываться из силы реакции опоры (горки) и силы тяжести, действующих на санки, т.к. она является результирующей. Следовательно, можно записать уравнение для второго закона Ньютона и рассмотреть проекции сил:

N + mg = ma = Fцс

Сила реакции горки направлена вдоль оси Y, сила тяжести и центростремительная направлены против оси Y:

$N-mg=-ma\\a=\frac{v^2}{R} \\N-mg=-m\frac{v^2}{R}$

Вес - это сила, с которой тело действует на опору вследствие притяжения к Земле. По третьему закону Ньютона модуль веса будет равен модулю силы реакции горки:

$F_1 = F_2\\N=P$

Тогда:

$N-mg=-m\frac{v^{2} }{R}\\N=mg- m\frac{v^{2} }{R}\\N=m(g-\frac{v^{2} }{R})\\N=P=m(g-\frac{v^{2} }{R})=2(10-\frac{3^{2} }{2,5})=6,4$

6,4 H.

Чтобы узнать скорость, при которой санки в верхней точке горки будут в состоянии невесомости, необходимо приравнять вес санок к нулю:

$N=P=0=>0=mg-m\frac{v^{2} }{R} \\mg=m\frac{v^{2} }{R}\\mg=\frac{m}{R}*v^2\\v^2=mg: \frac{m}{R}=gR\\v=\sqrt{gR} =\sqrt{10*2,5}=\sqrt{25} =5$

5 м/с.

Ответ: 6,4 Н и 5 м/с.

2. Дано:

v = 6 м/с

α = 50°

Найти:

R = ?

Решение:

Т.к. велосипедист двигается под наклоном к земной поверхности, то вертикальные силы действуют на систему тел "велосипед-велосипедист" в разных точках: сила тяжести - в точке центра тяжести, а сила реакции опоры - в точке давления системы тел на земную поверхность (колёса велосипеда). Движение является криволинейным, следовательно оно происходит с ускорением. В данном случае центростремительной силой выступает сила трения, т.к. по оси X на колёса велосипеда больше никаких сил не действует. Уравнение для второго закона Ньютона:

N + mg + Fтр = ma

Уравнение проекций сил на ось Y:

$N - mg = ma = 0\\N =mg$

Уравнение проекций сил на ось X:

$F_m_p =ma=m\frac{v^2}{R}$

Велосипедист не заваливается, значит моменты сил, действующих на точку приложения (на колёса велосипеда) относительно центра тяжести системы тел, уравновешивают друг друга. Этими силами являются Fтр и N.

Момент силы - это произведение силы на плечо (плечо - кратчайшее расстояние между линией приложения силы и точкой опоры, в данном случае - между линиями приложения Fтр и N и центром тяжести велосипедиста):

M = F*d

Расстояние от точки приложения сил до центра тяжести можно обозначить как d, тогда моменты сил будут:

$M_1=F_m_p*d*sin\alpha \\M_2=N*d*cos\alpha\\M_1=M_2\\F_m_p*d*sin\alpha =N*d*cos\alpha$

Подставим значения сил из уравнения проекций для второго закона Ньютона в уравнение моментов и найдём R:

$N =mg\\F_m_p =m\frac{v^2}{R}\\m\frac{v^2}{R}*d*sin\alpha =mg*d*cos\alpha \\\frac{mv^2*d*sin\alpha}{R}=mg*d*cos\alpha\\R=\frac{mv^2*d*sin\alpha}{mg*d*cos\alpha}=\frac{v^2}{g}*\frac{sin\alpha }{cos\alpha } = \frac{v^2*tg\alpha }{g}=\\=\frac{6^2*tg(50^o)}{10}=\frac{36*1,2}{10} = 4,32=4,3$

Ответ: радиус кривой будет равен примерно 4,3 м.

Answer 2

1. Для определения веса санок в верхней точке горки, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Верхняя точка горки - это точка максимальной высоты, где скорость санок будет равна нулю. Начнем с выражения механической энергии в начальной и конечной точках:

На верхней точке: Потенциальная энергия (Ep) + Кинетическая энергия (Ek) = 0

На начальной точке (ниже горки): Потенциальная энергия (Ep) + Кинетическая энергия (Ek) = мгh + 0.5 * м * v^2

где: м = 2 кг (масса санок) g = 9.8 м/с^2 (ускорение свободного падения) h = 2,5 м (высота горки) v = 3 м/с (скорость в верхней точке)

Теперь мы можем рассчитать вес санок (сила тяжести, направленная вниз) в верхней точке, равный F = м * g:

F = (2 кг) * (9.8 м/с^2) = 19.6 Н (ньютонов)

Теперь перейдем ко второй части вопроса, чтобы определить скорость, при которой санки будут в состоянии невесомости в верхней точке. Санки будут в состоянии невесомости, когда нормальная реакция опоры (сила, направленная вверх) будет равна нулю. Это происходит в тот момент, когда центр масс санок находится в точке вершины горки.

Формула для нормальной реакции (N) в верхней точке:

N = м * g + m * v^2 / R

где R - радиус кривизны горки. Здесь нам известны масса санок (м), ускорение свободного падения (g), и радиус кривизны горки (R = 2,5 м). Мы хотим найти скорость (v), при которой N = 0.

0 = (2 кг) * (9.8 м/с^2) + (2 кг) * v^2 / (2.5 м)

Решим это уравнение для v:

19.6 = 2 * v^2 / 2.5

Теперь умножим обе стороны на 2.5 и разделим на 2:

v^2 = 19.6 * 2.5 / 2 v^2 = 24.5

Теперь извлечем квадратный корень:

v = √24.5 ≈ 4.949 м/с

Таким образом, санки будут в состоянии невесомости в верхней точке горки при скорости около 4.949 м/с.

2. Для определения радиуса кривой, по которой движется велосипедист, используем закон сохранения механической энергии. Велосипедист движется со скоростью 6 м/с, и угол наклона к дороге составляет 50 градусов.

Максимальная высота над дорогой, которую может достичь велосипедист, будет в момент, когда он находится в верхней точке своей траектории. Затем мы можем использовать эту высоту для определения радиуса кривой с помощью энергии.

Переведем угол наклона в радианы:

Угол (θ) = 50 градусов * (π / 180) ≈ 0.8727 радиан

Потенциальная энергия велосипедиста в верхней точке:

Ep = m * g * h

где: m - масса велосипедиста g - ускорение свободного падения h - высота над дорогой

Мы хотим найти высоту (h), для этого используем компоненты силы тяжести:

h = R * (1 - cos(θ))

где: R - радиус кривой θ - угол наклона к дороге

Теперь подставим это выражение для h в формулу потенциальной энергии:

Ep = m * g * R * (1 - cos(θ))

Скорость велосипедиста (v) и радиус (R) связаны следующим образом:

v = √(g * R * sin(θ))

Теперь мы можем связать скорость (v) и потенциальную энергию (Ep):

Ep = m * g * R * (1 - cos(θ)) = 0.5 * m * v^2

Теперь решим это уравнение относительно R:

0.5 * m * v^2 = m * g * R * (1 - cos(θ))

R = (0.5 * v^2) / (g * (1 - cos(θ)))

Подставляем известные значения:

R = (0.5 * (6 м/с)^2) / (9.8 м/с^2 * (1 - cos(0.8727)))

Рассчитаем R:

R ≈ 6.153 м

Таким образом, велосипедист движется по кривой с