Question

Груз массой 60 г подвешен на нити длиной 50 см и совершает колебания в вертикальной плоскости, отклоняясь от положения равновесия на угол, косинус которого равен 0,95. Найдите полную механическую энергию маятника. Ответ выразите в миллиджоулях и запишите в поле ответа без указания единиц. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.

Answer 1

Дано:

m = 60 г = 0,06 кг

L = 50 см = 0,5 м

cosα = 0,95

g = 10 м/с²

E - ?

Решение:

Полная механическая энергия маятника складывается из его потенциальной и кинетической:

E = Ep + Ek

Когда у маятника максимальная скорость (положение равновесия), то его кинетическая энергия является максимальной. Равно как и потенциальная энергия, которой обладает маятник, является максимальной тогда, когда маятник поднимается на максимальную высоту. В обоих случая полная механическая энергия маятника будет равна её максимальной составляющей:

Е = Еp max = Ek max

На рисунке видно то, как можно выразить максимальную высоту. Нить в положении отклонения, нить в положении равновесия и расстояние между ними образуют прямоугольный треугольник. Высота h max равна разности полной длины нити и полной длины нити, уменьшённой на значение, равное значению высоты h max. То есть:

h max = L - (L - h max) - но с этим уравнением ничего не выйдет путного, потому что, раскрыв скобки, мы получим:

h max = L - L + h max

h max = h max

Но если вернуться к треугольнику, то можно увидеть, что уменьшённая на h max длина нити - это прилежащий катет, а полная длина нити - это гипотенуза. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус угла между ними:

(L - h max)/L = cosα => L - h max = L*cosα, тогда:

h max = L - L*cosα = L*(1 - cosα)

Остаётся подставить значение высоты в формулу максимальной потенциальной энергии, которая равна полной механической:

E = Ep max = mg*h max = mg*L(1 - cosα) = 0,06*10*0,5*(1 - 0,95) = 0,6*0,5*0,05 = 0,015 Дж = 15 мДж.

Ответ: 15.

Answer 2

Для нахождения полной механической энергии маятника, мы можем воспользоваться формулой для потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия маятника в данном случае связана с его высотой над положением равновесия. Высота можно найти, используя угол отклонения и длину нити:

Высота (h) = L * (1 - cos(угол))

где L - длина нити, у нас это 0,5 м (50 см).

h = 0,5 м * (1 - 0,95) = 0,5 м * 0,05 = 0,025 м (2,5 см)

Теперь мы можем найти потенциальную энергию (U) маятника:

U = m * g * h

где m - масса маятника (60 г, что равно 0,06 кг) g - ускорение свободного падения (10 м/с²) h - высота (0,025 м)

U = 0,06 кг * 10 м/с² * 0,025 м = 0,015 Дж

Теперь давайте найдем кинетическую энергию (K) маятника. Поскольку маятник находится в вертикальной плоскости, его скорость будет максимальной в нижней точке колебаний. Мы можем использовать следующую формулу для кинетической энергии:

K = (1/2) * m * v²

где m - масса маятника (0,06 кг) v - скорость маятника в нижней точке.

Скорость маятника в нижней точке можно найти, используя закон сохранения механической энергии:

E = U + K

где E - полная механическая энергия, которую мы ищем, и равна сумме потенциальной и кинетической энергии.

0,015 Дж + K = E

K = E - 0,015 Дж

K = (1/2) * m * v²

Теперь мы можем найти скорость:

v = sqrt((2 * (E - 0,015 Дж)) / m)

Теперь мы можем найти полную механическую энергию маятника:

E = U + K E = 0,015 Дж + (1/2) * 0,06 кг * ((2 * (E - 0,015 Дж)) / 0,06 кг)²

Теперь решим это уравнение:

E = 0,015 Дж + (2/0,06 кг) * (E - 0,015 Дж)

Умножим обе стороны на 0,06 кг:

0,06 кг * E = 0,015 Дж * 0,06 кг + 2 * E - 2 * 0,015 Дж * 0,06 кг

0,06 кг * E - 2 * E = 0,015 Дж * 0,06 кг

(0,06 кг - 2) * E = 0,015 Дж * 0,06 кг

0,06 кг * E = 0,015 Дж * 0,06 кг

E = 0,015 Дж

Ответ: Полная механическая энергия маятника составляет 0,015 миллиджоулей.