Question

Помогите с задачами по физике пожалуйста. 1. Во сколько раз гидравлическое сопротивление аорты (радиус аорты 1,25 см) меньше, чем гидравлическое сопротивление части артерии такой же длины (радиус артерии 2,5 мм). Вязкость крови в артерии составляет 0,9 вязкости крови в аорте. 2. Скорость течения крови в некотором сечении сосуда v = 50 см/с. Определить скорость течения крови в части сосуда, имеющей меньший радиус, если разность давлений в широкой и узкой частях сосуда Δр = 10 мм. рт. ст.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Задача 1

Дано:

r₁ = 1,2 см = 0,0120 м - радиус аорты

r₂ = 2,5 мм = 0,0025 м - радиус артерии

L₁ = L₂ = L

η₁ - вязкость крови в аорте

η₂ = 0,9·η₁ - вязкость крови в артерии

__________________

R₁ / R₂ - ?

Оценка по Пуазейлю:

R = 8·L·η / (π·r⁴)

Имеем:

R₁ = 8·L·η₁ / (π·r₁⁴)

R₂ = 8·L·η₂ / (π·r₂⁴)

Тогда:

R₁ / R₂ = (η₁ / η₂)·(r₂/r₁)⁴

R₁ / R₂ = ( 1 / 0,9)·(0,0025/0,0120)⁴ ≈ 0,002

Задача 2

Дано:

v₁ = 50 см/с = 0,50 м/с

Δp = 10 мм.рт.ст. = 1330 Па

ρ = 1050 кг/м³ - плотность крови

________________

v₂ - ?

По закону Бернулли:

Δp = (ρ/2)·(v₂² - v₁²)

v₂²  = 2·Δp / ρ + v₁²

v₂  = √ (2·Δp / ρ + v₁²) = √ (2·1330/1050 + 0,50²)  ≈ 1,7 м/с

Answer 2

Для решения обеих задач нам понадобится использовать закон Пуазейля, который описывает связь между гидравлическим сопротивлением, скоростью течения жидкости и радиусом сосуда. Закон Пуазейля формулируется следующим образом:

$R = \frac{8\eta L}{\pi r^4},$

где:

• $R$ - гидравлическое сопротивление,
• $\eta$ - вязкость жидкости,
• $L$ - длина сосуда,
• $r$ - радиус сосуда.

Теперь рассмотрим каждую из задач:

1. Для начала, найдем гидравлическое сопротивление аорты ($R_{aorta}$) и гидравлическое сопротивление части артерии ($R_{artery}$):

Для аорты:

• Радиус ($r_{aorta}$) = 1,25 см = 0,0125 м
• Вязкость крови ($\eta_{aorta}$) = 0,9 вязкости крови в аорте
• Длина ($L_{aorta}$) можно считать одинаковой для обоих сосудов, так как не указано иное.

Для части артерии:

• Радиус ($r_{artery}$) = 2,5 мм = 0,0025 м
• Вязкость крови ($\eta_{artery}$) = вязкость крови в аорте
• Длина ($L_{artery}$) можно считать одинаковой для обоих сосудов, так как не указано иное.

Теперь можем вычислить гидравлическое сопротивление для аорты и части артерии по закону Пуазейля:

Для аорты: $R_{aorta} = \frac{8\eta_{aorta} L_{aorta}}{\pi (r_{aorta})^4}$

Для части артерии: $R_{artery} = \frac{8\eta_{artery} L_{artery}}{\pi (r_{artery})^4}$

Обратите внимание, что $L_{aorta}$ и $L_{artery}$ считаются одинаковыми, поэтому они сокращаются.

2. Теперь перейдем ко второй задаче. Мы знаем, что разность давлений между широкой и узкой частями сосуда равна $\Delta P = 10$ мм рт. ст.

Для области с большим радиусом (широкая часть) применим закон Пуазейля:

$R_{wide} = \frac{8\eta L}{\pi r_{wide}^4}$

А для области с меньшим радиусом (узкая часть):

$R_{narrow} = \frac{8\eta L}{\pi r_{narrow}^4}$

Используя разность давлений и гидравлическое сопротивление, можно записать уравнение:

$\Delta P = \frac{8\eta L}{\pi} \left(\frac{1}{r_{wide}^4} - \frac{1}{r_{narrow}^4}\right)$

Теперь, зная $\Delta P$, $r_{wide}$, $\eta$, $L$, мы можем выразить $r_{narrow}$ и найти скорость течения крови в узкой части сосуда:

$\frac{1}{r_{narrow}^4} = \frac{1}{r_{wide}^4} - \frac{\pi \Delta P}{8\eta L}$

$\Rightarrow r_{narrow} = \left(\frac{1}{\frac{1}{r_{wide}^4} - \frac{\pi \Delta P}{8\eta L}}\right)^{1/4}$

Теперь мы можем использовать этот радиус $r_{narrow}$