Question

Определите среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении в 30кПа составляет 0,25 кг/м3.

Answer 1

Дано:

p = 30 кПа = 30000 Па

ρ = 0,25 кг/м³

------------------------------------

Найти:

υкв. - ?

Решение:

Мы воспользуемся формулой про давление идеального газа отражающая в основном уравнений:

p = 1/3 × n×m₀×υкв.² - давление идеального газа

Для начала мы запишем формулу плотности газа:

ρ = m/V - плотности газа

А масса для газов будет вот такая формула:

m = $N_{A}$ × m₀ - масса для газов

Тогда мы в результате с плотностью и массой газа мы получим в результате:

ρ = ( $N_{A}$×m₀)/V = n×m₀

Теперь полученную формулу мы подставляем в давление идеального газа, тогда:

p = 1/3 × ρ × υкв.²

Отсюда среднюю квадратичную  скорость молекул идеального газа мы получаем вот так:

p = 1/3 × ρ × υкв.² ⇒ υкв.² = 3×p/ρ ⇒ υкв. = √((3×p)/ρ) - cкорость молекул идеального газа

υкв. = √((3×30000 Па)/0,25 кг/м³) = √((90000 Н/м²)/0,25 кг/м³) = √(360000 (Н×м)/кг) = √(360000 (кг/(м×с²)×м)/кг) = √(360000 м²/с²) = 600 м/с

Ответ: υкв. = 600 м/с

Answer 2

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа можно вычислить с помощью уравнения идеального газа и выражения для кинетической энергии молекул:

$PV = \frac{1}{3}Nm\langle v^2 \rangle,$

где:

• $P$ - давление (30 кПа, что равно 30000 Па),
• $V$ - объем,
• $N$ - количество молекул,
• $m$ - масса одной молекулы,
• $\langle v^2 \rangle$ - средний квадратичный квадрат скорости молекул.

Плотность ($\rho$) может быть выражена как:

$\rho = \frac{mN}{V},$

где:

• $\rho$ - плотность,
• $m$ - масса одной молекулы,
• $N$ - количество молекул,
• $V$ - объем.

Из этого можно выразить количество молекул:

$N = \frac{\rho V}{m}.$

Теперь мы можем подставить это выражение для $N$ в уравнение идеального газа:

$PV = \frac{1}{3}\left(\frac{\rho V}{m}\right)m\langle v^2 \rangle.$

Упростим уравнение:

$PV = \frac{\rho}{3}V\langle v^2 \rangle.$

Теперь выразим $\langle v^2 \rangle$:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3PV}{\rho}.$

Теперь мы можем вставить значения:

$P = 30000 \text{ Па},$ $\rho = 0.25 \text{ кг/м}^3$, $V$ - неизвестно.

Мы можем использовать уравнение состояния идеального газа $PV = nRT$, чтобы найти объем $V$, где $n$ - количество молекул газа, а $R$ - универсальная газовая постоянная ($R \approx 8.314 \text{ Дж/(моль·К)}$):

$PV = \frac{\rho}{m}RT.$

Теперь мы можем выразить $V$:

$V = \frac{\rho}{m}RT/P.$

Используя это значение, мы можем найти среднюю квадратичную скорость:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3PV}{\rho} = \frac{3P}{\rho} \cdot \frac{\rho}{m}RT/P.$

Подставляя значения:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3 \cdot 30000}{0.25} \cdot \frac{0.25}{m} \cdot R \cdot T/30000.$

Заметьте, что $P$ сокращается. Теперь вы можете ввести температуру ($T$) и массу молекулы ($m$) и рассчитать среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа.