Question

Кинематика помогите пожалуйста На ровном склоне горы, наклон которого к горизонту α=30∘, на высоте h=20 м друг над другом находятся два школьника. Они одновременно бросают камни с одинаковыми скоростями: нижний — перпендикулярно склону, верхний — в горизонтальном направлении. На каком минимальном расстоянии друг от друга пролетят камни, если вплоть до момента максимального сближения они ещё будут находиться в воздухе? Ответ выразите в м, округлив до десятых. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Answer 1

Ответ:

пусть вдоль горизонтали тело пролетело расстояние х, тогда время полёта t = x/(v0*cos(60)), и значит вертикальная координата h = v0*sin(60)*t - g*t^2/2

и по условию наклона горы имеем третье условие

h/x = tan(30)

теперь всё стыкуем

v0*sin(60)*t - g*t^2/2 = t*(v0*cos(60))*tan(30)

t = 4.713 сек

осталось найти

x = t*(v0*cos(60)) = 4.713*40*cos(60) = 94.3 м

h = v0*sin(60)*t - g*t^2/2 = 40*sin(60)*4.713 - 9.8*4.713^2/2 = 54.4 м

значит вдоль склона он пролетел на sqrt(x^2+h^2) = sqrt(94.3^2+54.4^2) = 109 м

Answer 2

Чтобы найти минимальное расстояние между камнями, сначала давайте найдем время полета каждого из камней.

Для нижнего камня (брошенного перпендикулярно склону), его движение разделяется на две компоненты: вертикальное движение вниз и горизонтальное движение вдоль склона. Мы можем использовать следующие уравнения для определения времени полета:

Для вертикального движения: h = (1/2) * g * t^2, где h - высота, g - ускорение свободного падения, t - время. Для горизонтального движения: d = v * t, где d - горизонтальное расстояние, v - горизонтальная скорость, t - время.

Поскольку камень брошен перпендикулярно склону, начальная вертикальная скорость равна 0, и вертикальное движение будет подвержено только гравитации. Таким образом:

h = (1/2) * g * t^2 t = sqrt((2 * h) / g)

Теперь для горизонтального движения верхнего камня (брошенного в горизонтальном направлении), начальная вертикальная скорость также равна 0, и вертикальное движение также подвержено гравитации, но горизонтальное движение будет равномерным:

d = v * t

Так как начальная вертикальная скорость равна 0, тогда вертикальное движение обоих камней займет одинаковое время, которое мы нашли выше.

Теперь, для минимального расстояния между камнями, обратим внимание, что верхний камень будет двигаться горизонтально со скоростью v и время полета будет таким же, как и для нижнего камня. Таким образом, минимальное расстояние между ними будет равно:

d_min = v * t

Теперь найдем горизонтальную скорость v верхнего камня. Эта скорость останется постоянной на протяжении всего полета, так как сопротивление воздуха пренебрегается, и горизонтальное движение будет равномерным. Горизонтальная скорость связана с начальной горизонтальной скоростью v_0 и временем полета t:

v = v_0 = d / t

Так как начальная горизонтальная скорость равна начальной горизонтальной скорости верхнего камня, и мы хотим найти минимальное расстояние, подставляем значение t:

d_min = (d / t) * t

t сокращается, и мы получаем:

d_min = d

Теперь мы знаем, что минимальное расстояние между камнями будет равно горизонтальному расстоянию, которое будет пройдено верхним камнем. Мы можем использовать уравнение для горизонтального движения для верхнего камня:

d = v * t

где d - горизонтальное расстояние (которое искомо), v - горизонтальная скорость, t - время, которое мы нашли выше:

t = sqrt((2 * h) / g)

Теперь подставим значения:

d_min = v * t = d * sqrt((2 * h) / g)

Теперь мы можем подставить известные значения: h = 20 м, α = 30 градусов, g = 9.8 м/с²:

h = 20 м α = 30° g = 9.8 м/с²

Сначала найдем начальную горизонтальную скорость верхнего камня v_0:

v_0 = v0 * cos(α) = v0 * cos(30°)

Здесь v0 - начальная скорость верхнего камня, которая одинакова для обоих камней.

Теперь мы можем найти горизонтальное расстояние:

d_min = d * sqrt((2 * h) / g)

d_min = (v_0 * cos(30°)) * sqrt((2 * 20 м) / 9.8 м/с²)

Рассчитаем это численно:

d_min = (v_0 * 0.866) * sqrt(40 / 9.8)

Теперь, чтобы найти v_0, мы можем использовать горизонтальное движение нижнего камня:

d = v_0 * t

где d - горизонтальное расстояние, t - время, которое мы нашли ранее:

t = sqrt((2 * h) / g)

Подставим это в уравнение:

d = v_0 * sqrt((2 * h) / g)

Теперь решим относительно v_0:

v_0 = d / (sqrt((2 * h) / g))

Теперь мы можем подставить v_0 в уравнение для d_min:

d_min = (d / (sqrt((2 * h) / g))) * 0.866 * sqrt(40 / 9.8)

Рассчитаем это численно:

d_min = (d / 4.43) * 0.866 * 4.08

d_min ≈ 0.866 * 0.918 * 4.08 * d

d_min ≈ 3.52 * d

Теперь, чтобы найти d_min, выразим его через d:

d_min = 3.52 * d

Теперь у нас есть отношение минимального расстояния к горизонтальному расстоянию d. Округлим это значение до десятых:

d_min ≈ 3.5 * d

Таким образом, минимальное расстояние между камнями будет примерно в 3.5 раза больше горизонтального расстояния d.