Question

Снаряд массой 5 кг, выпущенный вертикально вверх со скоростью 200 м/с, разрывается в верхней точке траектории на два осколка. Первый осколок после взрыва летит вертикально вниз и достигает земли через 10 секунд. Определите скорость второго осколка, если его масса в 1,5 раза больше массы первого осколка. Сколько энергии выделяется при взрыве? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Answer 1

Дано:

M = 5 кг

V = 200 м/с

m₂ = 1,5m₁

t = 10 с

g = 10 м/с²

υ₂, E - ?

Решение:

В верхней точке траектории будет работать закон сохранения импульса. Направление вертикальной оси примем вверх, тогда:

m₂*υ₂ - m₁*υ₁ = 0 =>

=> m₂*υ₂ = m₁*υ₁

1,5m₁*υ₂ = m₁*υ₁ | : m₁

1,5*υ₂ = υ₁

υ₂ = υ₁/1,5 (***)

Нам нужно вычислить начальную скорость первого заряда υ₁. Используем для этого кинематическую формулу перемещения:

s = υ₀*t + g*t²/2

Перемещение s равно высоте, на которой происходит взрыв. Вертикальную ось направим вниз. Тогда:

h = υ₁ *t + g*t²/2

Высоту найдём, используя закон сохранения механической энергии (кинетическая энергия снаряда в начале движения равна его потенциальной энергии в конце движения):

Еп = Ек

Mgh = MV²/2 | : M

gh = V²/2

h = V²/(2g)

Приравниваем кинематическое выражение к энергетическому. Затем выражаем скорость υ₁:

V²/(2g) = υ₁ *t + g*t²/2

υ₁ *t = V²/(2g) - g*t²/2 | : t

υ₁ = V²/(2gt) - g*t/2 = 200²/(2*10*10) - 10*10/2 = 200*200/(200) - 100/2 = 200 - 50 = 150 м/с

Теперь подставляем значение скорости в уравнение закона сохранения импульса (***):

υ₂ = υ₁/1,5 = 150/1,5 = 100 м/с

При взрыве происходит превращение внутренней энергии снаряда в кинетическую энергию его осколков:

U -> Ек

Ек = Ек₁ + Ек₂ = m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 = (m₁υ₁² + m₂υ₂²)/2 = (m₁υ₁² + 1,5*m₁*υ₂²)/2

Чтобы узнать m₁, запишем закон сохранения импульса следующим образом:

M = m₁ + m₂ => m₂ = M - m₁

(M - m₁)*υ₂ = m₁*υ₁

M*υ₂ - m₁*υ₂ = m₁*υ₁

M*υ₂ = m₁*υ₁ + m₁*υ₂

M*υ₂ = m₁*(υ₁ + υ₂)

m₁ = M*υ₂/(υ₁ + υ₂) = 5*100/(150 + 100) = 500/250 = 2 кг

Тогда:

Ек = (m₁υ₁² + 1,5*m₁*υ₂²)/2 = (2*150² + 1,5*2*100²)/2 = (2*150*150 + 2*150*100)/2 = 150*(2*150 + 2*100)/2 = 75*(300 + 200) = 75*500 = 37500 = 37,5 кДж

Ответ: 100 м/с; 37,5 кДж.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать законы сохранения механической энергии и импульса.

1. Сначала найдем высоту, на которую поднимется снаряд до разрыва. Используем закон сохранения энергии:

Эп = Eк + Еп,

где Эп - полная механическая энергия снаряда, Eк - кинетическая энергия, Еп - потенциальная энергия.

Известно, что начальная кинетическая энергия снаряда равна его массе (m) умноженной на квадрат начальной скорости (v^2) и деленной на 2:

Eк = (5 кг * (200 м/с)^2) / 2 = 1000000 Дж.

Поскольку снаряд движется вертикально, его начальная потенциальная энергия равна нулю, так как он еще не поднялся вверх.

Эп = 0 Дж + 1000000 Дж = 1000000 Дж.

Теперь мы можем использовать закон сохранения механической энергии, чтобы найти высоту подъема снаряда:

Эп = m * g * h,

где m - масса снаряда, g - ускорение свободного падения (приближенно принимаем g ≈ 9.81 м/с²), h - высота.

1000000 Дж = 5 кг * 9.81 м/с² * h,

h ≈ 203.07 м.

2. Теперь мы можем использовать уравнение движения для первого осколка, который движется вертикально вниз. Мы знаем, что время его движения составляет 10 секунд, и ускорение свободного падения g ≈ 9.81 м/с². Используем уравнение:

h = (1/2) * g * t^2,

где h - высота, g - ускорение свободного падения, t - время.

203.07 м = (1/2) * 9.81 м/с² * (10 с)^2,

203.07 м = 490.5 м.

Теперь мы знаем, что высота, с которой падает первый осколок, равна 490.5 м.

3. Теперь найдем начальную скорость второго осколка, который движется вниз. Масса второго осколка 1,5 раза больше массы первого осколка (5 кг). Обозначим массу второго осколка как M (M = 1.5 * 5 кг = 7.5 кг).

Используем уравнение движения для второго осколка:

h = (1/2) * g * t^2,

где h - высота, g - ускорение свободного падения, t - время.

490.5 м = (1/2) * 9.81 м/с² * t^2.

Решим это уравнение для t:

t^2 = (2 * 490.5 м) / 9.81 м/с², t^2 ≈ 100 с², t ≈ 10 с.

Теперь мы знаем, что второй осколок достиг земли за 10 секунд, и его начальная скорость можно найти, используя ускорение свободного падения:

v = g * t, v ≈ 9.81 м/с² * 10 с, v ≈ 98.1 м/с.

Скорость второго осколка составляет примерно 98.1 м/с.

4. Теперь определим энергию, выделяющуюся при взрыве. Изначально полная механическая энергия снаряда составляла 1000000 Дж. Поскольку часть этой энергии была использована на подъем снаряда, то остальная энергия выделилась в виде кинетической энергии движения осколков.

Энергия второго осколка (кинетическая энергия) = (1/2) * M * v^2, где M - масса второго осколка, v - его скорость.

Энергия второго осколка = (1/2) * 7.5 кг * (98.1 м/с)^2 ≈ 35,348.125 Дж.

Следовательно, энергия, выделившаяся при взрыве и перешедшая в кинетическую энергию движения осколков, равна:

Энергия взрыва = Исходная энергия - Энергия второго осколка, Энергия взрыва = 1000000 Дж - 35,348.125 Дж ≈ 964,651.875 Дж.

Итак, энергия, выделившаяся при взрыве, составляет примерно 964,651.875 Дж.