Question

Закон движения тела по оси x имеет вид: х(t) = 3 + 5 • t + 3 • t^2, где координату x измеряют в метрах, а t — в секундах. Определите: а) начальную координату тела; б) значения начальной скорости и ускорения тела; в) координаты тела в моменты времени 1, 2 и 5 с; г) момент времени, когда координата х будет равна 71 м; д) путь за 6 с.​

Answer 1

$x = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$, где x0 - начальная координата, v0 - начальная скорость, a - ускорение. Тогда

а) начальная координата тела - 3 м

б) начальная скорость - 5 м\c

   ускорение - 3 * 2 = 6 м\с^2

в) Подставим 1 заместо t:

t=1: 3 + 5 * 1 + 3 * 1 = 3 + 5 + 3 = 11

t=2: 3 + 5 * 2 + 3 * 2^2 = 3 + 10 + 12 = 25

t=5: 3 + 5 * 5 + 3 * 5^2 = 3 + 25 + 75 = 103

г) Подставим 71 заместо x

71 = 3 + 5 * t + 3 * t^2

Решим уравнение

3t^2 + 5t - 68 = 0

D = 25 + 68 * 3 * 4 = 29^2

t1 = (-5 + 29)/6 = 4

t2 = -34/6 (не берем в ответ, так как время не может быть отрицательным)

д) Путь - это тот же самый закон движения, но без начальной координаты:

$l = v_0t + at^2/2$

Подставим 6 заместо t:

l = 5 * 6 + 3 * 6^2 = 30 + 3 * 36 = 30 + 108 = 138 м

Answer 2

а) Начальная координата тела определяется при t = 0. Подставляя это значение в уравнение движения, получаем: x(0) = 3 + 5 * 0 + 3 * 0^2 = 3

б) Начальная скорость тела равна производной от уравнения движения по времени при t = 0: v(0) = dx/dt|t=0 = 5 + 6 * 0 = 5 м/с

Ускорение тела равно второй производной от уравнения движения по времени: a = d^2x/dt^2 = 6 м/с^2

в) Чтобы узнать координаты тела в конкретные моменты времени, подставим значения времени в уравнение движения: x(1) = 3 + 5 * 1 + 3 * 1^2 = 11 м x(2) = 3 + 5 * 2 + 3 * 2^2 = 25 м x(5) = 3 + 5 * 5 + 3 * 5^2 = 103 м

г) Для определения момента времени, когда координата x будет равна 71 м, решим уравнение: 71 = 3 + 5t + 3t^2

Получаем квадратное уравнение: 3t^2 + 5t - 68 = 0

Решая его, получим два возможных значения t: t ≈ -7.43 с (не является физически реальным значением времени) или t ≈ 3.37 с

Таким образом, момент времени, когда координата x будет равна 71 м, примерно равен 3.37 с.

д) Путь за 6 с можно найти, интегрируя модуль скорости от t = 0 до t = 6: S = ∫|v(t)|dt|0 to 6 = ∫(5 + 6t)dt|0 to 6 = ∫(5t + 6t^2)dt|0 to 6 = [5t^2/2 + 2t^3/3] |0 to 6 = 5 * 6^2/2 + 2 * 6^3/3 - 0 = 90 + 96 = 186 метров