Question

Груз имеет массу 1 кг, а связанные с ним пружины имеют жесткость 1250 н/м. Какой будет амплитуда колебаний этого груза, если сообщить ему начальную скорость 2 м/сек? Горизонтальная плоскость гладкая.

Answer 1

Ответ:

5.7 см

Объяснение:

m=1 кг    k=1250 Н/м     v=2 м/с     A=?

===

Eкин=Eупр

m*v²/2=k*A²/2

A=v*√(m/k)=2*√(1/1250)=0.057 м

==================

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться уравнением колебаний гармонического осциллятора, так как система груза на пружинах подчиняется закону Гука. Уравнение колебаний можно записать в виде:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0, \]

где: - \( m \) - масса груза, - \( k \) - жесткость пружин.

В данной задаче \( m = 1 \ \text{кг} \) и \( k = 1250 \ \text{Н/м} \). Решение этого уравнения дает зависимость координаты груза от времени \( x(t) \). Однако, для определения амплитуды колебаний, нам необходимо знать начальные условия. В данной задаче задана начальная скорость груза \( v_0 = 2 \ \text{м/сек} \).

Чтобы найти амплитуду колебаний, мы можем воспользоваться следующей формулой для колебательного движения:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi), \]

где: - \( A \) - амплитуда колебаний, - \( \omega \) - угловая частота, - \( \phi \) - начальная фаза.

Угловая частота связана с массой и жесткостью пружин следующим образом:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]

Начальная фаза \( \phi \) может быть определена из начальных условий, но в данной задаче она не указана. Мы предположим, что \( \phi = 0 \) для упрощения расчетов.

Амплитуду \( A \) можно найти, используя начальные условия \( x(0) \) и \( v(0) \):

\[ x(0) = A \cos(\phi) \] \[ v(0) = -A \omega \sin(\phi) \]

С учетом того, что \( \phi = 0 \), уравнения упрощаются:

\[ x(0) = A \] \[ v(0) = 0 \]

Таким образом, начальная амплитуда равна начальному смещению \( x(0) \). С учетом начальной скорости \( v_0 = 2 \ \text{м/сек} \) мы можем записать:

\[ v(0) = -A \omega \sin(0) = -A \omega = -2 \ \text{м/сек} \]

Отсюда находим:

\[ A = \frac{2}{\omega} \]

\[ A = \frac{2}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \]

\[ A = \frac{2}{\sqrt{\frac{1250}{1}}} \]

\[ A = \frac{2}{\sqrt{1250}} \]

\[ A = \frac{2}{\sqrt{1250}} \times \frac{\sqrt{1250}}{\sqrt{1250}} \]

\[ A = \frac{2 \times \sqrt{1250}}{1250} \]

\[ A = \frac{2 \times \sqrt{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2}}{1250} \]

\[ A = \frac{2 \times 5 \times \sqrt{2}}{1250} \]

\[ A = \frac{10 \times \sqrt{2}}{1250} \]

\[ A = \frac{\sqrt{2}}{125} \]

\[ A \approx 0.02828 \ \text{м} \]

Таким образом, амплитуда колебаний этого груза при начальной скорости \(2 \ \text{м/сек}\) на гладкой горизонтальной плоскости составляет примерно \(0.02828 \ \text{м}\).