Question

В U-образную трубку медленно наливают некоторое количество воды. После чего в правое колено начинают добавлять масло со скоростью V = 2 см/мин. С какой скоростью начнет поднимать край воды в левом колене? Плотность воды 1000 кг/м3, плотность масла 800 кг/м3. Ответ выразить в см/мин с точностью до десятых.

Answer 1

Ответ:

1,6 см/м

Объяснение:

(h1 * s * p1) = (h2 * s * p2)   (S - сокращается)

слева            справа

h2 = p1/p2 * V1 = 800/1000 * 2 см/м = 1,6 см/м

h2 = 1,6 см/м

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение непрерывности для жидкости. По этому уравнению, расход жидкости в одном конце трубы равен расходу в другом конце.

Уравнение непрерывности можно записать следующим образом:

\[A_1v_1 = A_2v_2,\]

где \(A_1\) и \(A_2\) - площади поперечного сечения трубы в начальный и конечный момент времени, а \(v_1\) и \(v_2\) - скорости потока воды в начальный и конечный момент времени.

Так как труба имеет форму буквы "U", то площадь поперечного сечения воды уменьшается при перемещении от правого колена к левому. Это означает, что \(A_2 < A_1\).

Мы можем выразить отношение площадей сечений через отношение высот воды в этих коленах:

\[A_2 = A_1 \cdot h_2 / h_1.\]

Теперь, учитывая, что объем жидкости в трубе не изменяется, можем написать:

\[A_1 \cdot h_1 = A_2 \cdot h_2.\]

Подставим выражение для \(A_2\):

\[A_1 \cdot h_1 = A_1 \cdot h_2 / h_1 \cdot h_2.\]

Отсюда получаем:

\[h_1^2 = h_2^2.\]

Теперь можем выразить высоту воды в левом колене через высоту воды в правом колене:

\[h_2 = h_1.\]

Теперь у нас есть выражение, связывающее высоты воды в обоих коленах.

Теперь рассмотрим добавление масла. Так как масло добавляется в правое колено со скоростью \(V = 2 \ \text{см/мин}\), мы можем использовать тот факт, что объем масла в единицу времени равен скорости добавления масла умноженной на площадь поперечного сечения трубы:

\[Q_{\text{масло}} = A_1 \cdot V,\]

где \(Q_{\text{масло}}\) - объем масла, добавленного в единицу времени.

Теперь мы можем использовать это выражение для вычисления скорости потока воды в левом колене. Так как объем воды в единицу времени также не изменяется, мы можем написать:

\[Q_{\text{вода}} = A_2 \cdot v_2,\]

где \(Q_{\text{вода}}\) - объем воды, двигающейся вдоль трубы в единицу времени.

Теперь подставим выражение для \(A_2\) и используем то, что \(h_2 = h_1\):

\[Q_{\text{вода}} = A_1 \cdot v_2 / h_1 \cdot h_2.\]

Теперь можем выразить \(v_2\):

\[v_2 = Q_{\text{вода}} \cdot h_1 / (A_1 \cdot h_2).\]

Теперь подставим выражение для \(Q_{\text{вода}}\) и выразим \(v_2\):

\[v_2 = (A_2 / A_1) \cdot (Q_{\text{масло}} / h_1).\]

Подставим выражение для \(A_2 / A_1\) и значения:

\[v_2 = (h_1 / h_2) \cdot (Q_{\text{масло}} / h_1).\]

Теперь сокращаем \(h_1\) и \(h_2\):

\[v_2 = Q_{\text{масло}} / h_2.\]

Теперь можем подставить числовые значения:

\[v_2 = (2 \ \text{см/мин}) / h_2.\]

Таким образом, скорость поднимающегося края воды в левом колене будет равна \(2 / h_2\) см/мин. Однако, нам нужно выразить это в терминах высоты воды в правом колене. Мы знаем, что \(h_2 = h_1\), поэтому:

\[v_2 = 2 / h_1 \ \text{см/мин}.\]

Таким образом, скорость поднимающегося края воды в левом колене равна \(2 / h_1\) см/мин.