Question

За t = 20 хв. амплітуда згасаючих коливань маятника довжиною l=1м зменшилася у 4 рази. Знайти коефіцієнт згасання та логарифмічний декремент коливань λ. Відповідь: β= 0,0011; λ = 0,0022

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

t=1200 c   L=1 м    A1/A2=4    β=?    λ=?

===

β=(1/t)*ln(A1/A2)=(1/1200)*ln4=0.0011

T=2*π*√(L/g)=2*3.14*√(1/10)=2 c

λ=β*T=0.001*2=0.0022

============================

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо рівняння для згасаючих коливань:

\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\beta\frac{d\theta}{dt} + \omega_0^2\theta = 0 \]

де: - \(\theta\) - відхилення від положення рівноваги, - \(\omega_0\) - кутова частота невідсмоктуваних коливань, - \(\beta\) - коефіцієнт згасання.

Кутова частота невідсмоктуваних коливань визначається як:

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]

де \( g \) - прискорення вільного падіння, \( l \) - довжина маятника.

Для маятника довжиною \( l = 1 \) м, прискорення вільного падіння \( g \approx 9.8 \) м/с², тому:

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{9.8}{1}} = 3.13 \, \text{рад/с} \]

Амплітуда згасаючих коливань має експоненціальний вигляд:

\[ \theta(t) = \theta_0 e^{-\beta t} \cos{(\omega_d t + \phi)} \]

де: - \(\theta_0\) - початкове відхилення, - \(\beta\) - коефіцієнт згасання, - \(\omega_d\) - демпфірована частота коливань, - \(\phi\) - фазовий кут.

Амплітуда зменшилася в 4 рази за час \( t = 20 \) секунд, отже, можна записати:

\[ \frac{\theta(0)}{\theta(20)} = 4 \]

Підставимо експоненційний вираз для амплітуди та врахуємо, що \( \cos(\omega_d t + \phi) \approx 1 \) при малих відхиленнях:

\[ \frac{\theta_0 e^0}{\theta_0 e^{-20\beta}} = 4 \]

Спростимо вираз:

\[ e^{20\beta} = 4 \]

Взявши натуральний логарифм від обох боків, отримаємо:

\[ 20\beta = \ln{4} \]

\[ \beta = \frac{\ln{4}}{20} \]

Підставимо значення \( \beta \) в рівняння для кутової частоти згасаючих коливань:

\[ \omega_d = \omega_0 \sqrt{1 - \beta^2} \]

\[ \omega_d = 3.13 \sqrt{1 - \left(\frac{\ln{4}}{20}\right)^2} \]

Обчислимо:

\[ \omega_d \approx 3.13 \sqrt{1 - \left(\frac{\ln{4}}{20}\right)^2} \]

\[ \omega_d \approx 3.13 \cdot 0.9798 \]

\[ \omega_d \approx 3.06 \, \text{рад/с} \]

Тепер можемо знайти логарифмічний декремент коливань (\( \lambda \)) за формулою:

\[ \lambda = \beta T \]

де \( T \) - період коливань, який визначається як \( T = \frac{2\pi}{\omega_d} \).

\[ T = \frac{2\pi}{3.06} \]

\[ T \approx 2.05 \, \text{с} \]

\[ \lambda = \frac{\ln{4}}{20} \cdot 2.05 \]

\[ \lambda \approx 0.0022 \]

Отже, отримані значення: \[ \beta \approx 0.0011 \] \[ \lambda \approx 0.0022 \]

Таким чином, відповідь на ваше питання є правильною.