Question

Конденсатор С1 состоит из плоских параллельных пластин со стороной квадрата 10 см, расположенных на расстоянии 4 мм друг от друга. Конденсатор С2 состоит из плоских параллельных пластин с длиной стороны 5 см, расположенных на расстоянии 1 мм друг от друга. Определить отношение емкостей этих конденсаторов. Сделайте аргументированный вывод о том, как изменится отношение емкостей, если пространство конденсатора С2 заполнить маслом (ε = 2,1).​

Answer 1

Ответ:

1) Отношение емкостей конденсаторов равно 1.

2) Если пространство конденсатора С2 заполнить маслом (ε = 2,1), то отношение емкостей конденсаторов уменьшится в 2,1 раза.

Объяснение:

Определить отношение емкостей двух конденсаторов с заданными параметрами.

Дано:

a₁ = 10 см = 10⁻¹ м;
d₁ = 4 мм = 4 · 10⁻³ м;
a₂ = 5 см = 5 · 10⁻² м;
d₂ = 1 мм = 10⁻³ м;

ε₂ = 2,1

Найти:

1) $\displaystyle \;\;\frac {C_{1}}{C_{2}};$

2) Как изменится отношение отношение емкостей конденсаторов, если второй заполнить маслом.

Решение.

• Электрическая емкость плоского конденсатора может быть определена по формуле:
  $\displaystyle C = \frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S}{d} ,$  
  где ε - диэлектрическая проницаемость слоя диэлектрика между обкладками, ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м - электрическая постоянная, S - площадь пластины обкладок, d - расстояние между пластинами.

1) Выразим отношение емкостей двух заданных конденсаторов.

Так как по условию ничего не сказано о слое диэлектрика между прокладками, считаем, что между обкладками одно и то же вещество ε₁ = ε₂ (диэлектрическая проницаемость воздуха ε = 1,0006 ≈ 1 Ф/м).

Электрическая емкость каждого конденсатора:

$\displaystyle C_{1} = \frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{0} S_{1}}{d_{1}} ,\;\;\;\;\;\displaystyle C_{2} = \frac{\varepsilon_{2} \varepsilon_{0} S_{2}}{d_{2}} .$

Отношение емкостей конденсаторов:

$\displaystyle \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{0} S_{1}d_{2}}{d_{1}\varepsilon_{2} \varepsilon_{0} S_{2}} = \frac{ S_{1}d_{2}}{ S_{2}d_{1}}$

2) Найдем отношение емкостей двух заданных конденсаторов.

Пластины конденсатора квадратные, найдем их площади и  для удобства запишем расстояния между пластинами.

S₁ = a₁² = (10⁻¹)² м² = 10⁻² м₂;    

d₁ = 4 · 10⁻³ м;

S₂ = a₂² = (5 · 10⁻²)² м² = 25 · 10⁻⁴ м²=2,5 · 10⁻³ м²;  

d₂ = 10⁻³ м;

Отношение емкостей:

$\displaystyle \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{ 10^{-2} \cdot 10^{-3}}{ 2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 4 \cdot10^{-3}}=\frac{10^{-5}}{10\cdot10^{-6}} =1.$

Отношение емкостей конденсаторов равно 1.

3) Если пространство конденсатора С2 заполнить маслом (ε = 2,1).​

$\displaystyle C_{1} = \frac{1 \varepsilon_{0} S_{1}}{d_{1}} = \frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{0} S_{1}}{d_{1}}; \\\\\displaystyle C^{'}_{2} = \frac{\varepsilon_{2} \varepsilon_{0} S_{2}}{d_{2}} = \frac{2,1 \varepsilon_{0} S_{2}}{d_{2}} .$

$\displaystyle \frac{C_{1}}{C^{'}_{2}} = \frac{1\cdot\varepsilon_{0} S_{1}d_{2}}{d_{1}\cdot 2,1 \cdot \varepsilon_{0} S_{2}} = \frac{ S_{1}d_{2}}{ S_{2}d_{1}\cdot2,1}= \frac{C_{1}}{C_{2}\cdot 2,1}$

Если пространство конденсатора С2 заполнить маслом (ε = 2,1), то отношение емкостей конденсаторов уменьшится в 2,1 раза.

Answer 2

Для определения отношения емкостей конденсаторов С1 и С2, мы можем использовать формулу емкости конденсатора:

C = ε₀ * (S / d),

где C - емкость конденсатора, ε₀ - электрическая постоянная (ε₀ ≈ 8,85 * 10^(-12) Ф/м), S - площадь пластин конденсатора, d - расстояние между пластинами.

Для конденсатора С1: S₁ = (0,1 м)^2 = 0,01 м^2, d₁ = 4 мм = 0,004 м.

Для конденсатора С2: S₂ = (0,05 м)^2 = 0,0025 м^2, d₂ = 1 мм = 0,001 м.

Теперь мы можем вычислить емкости обоих конденсаторов:

C₁ = ε₀ * (0,01 м^2 / 0,004 м) = ε₀ * 2,5 Ф, C₂ = ε₀ * (0,0025 м^2 / 0,001 м) = ε₀ * 2,5 Ф.

Отношение емкостей будет:

C₁ / C₂ = (ε₀ * 2,5 Ф) / (ε₀ * 2,5 Ф) = 1.

Таким образом, отношение емкостей конденсаторов С1 и С2 равно 1.

Если пространство конденсатора С2 заполнить маслом с диэлектрической проницаемостью ε = 2,1, то эффективная электрическая постоянная (εэфф) для конденсатора С2 изменится.

Для конденсатора С2 с маслом: C₂' = εэфф * ε₀ * (0,0025 м^2 / 0,001 м).

Отношение новой емкости C₂' к емкости C₁ будет:

C₂' / C₁ = (εэфф * ε₀ * 0,0025 м^2) / (ε₀ * 2,5 Ф) = (εэфф * 0,0025 м^2) / 2,5 Ф.

Мы не знаем точное значение εэфф для масла, поэтому не можем определить окончательное отношение емкостей без этой информации. Однако, если εэфф для масла больше единицы (εэфф > 1), то отношение емкостей C₂' / C₁ будет больше единицы. Если εэфф равно 1, то отношение емкостей останется неизменным (C₂' / C₁ = 1).