Question

1) Заряд конденсатора идеального колебательного контура, состоящего из катушки с индуктивностью 25 мкГн и конденсатора, при свободных колебаниях меняется по закону , где все величины выражены в СИ. Определите максимальную энергию конденсатора.2) Индуктивность катушки равна 0,5 Гн. Уравнение колебаний силы тока в ней имеет вид: , где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду напряжения на катушке.

Answer 1

1)
I=q`=10^(-4)*2*10^3*cos(2*10^3*t)=0,2*cos(2*10^3*t) А
W=Wl+Wc=max(Wl)=L*(max(I))^2/2 = 25*10^(-6)*0,2^2/2 Дж = 5E-07 Дж = 0,5 мкДж
2)
w=12*pi
RL=w*L=12*pi*L
max(U)=RL*max(I) = 12*pi*L*0,8=12*pi*0,5*0,8= 15,07964 В ~ 15 В

Answer 2

1) Из уравнения свободных колебаний идеального колебательного контура имеем
$$
\frac{1}{LC}\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{C}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q = 0,
$$
где $q$ - заряд на конденсаторе, $C$ - его ёмкость, $L$ - индуктивность катушки. Решением этого уравнения является
$$
q(t) = q_m\cos(\omega_0 t + \phi),
$$
где $q_m$ - максимальный заряд на конденсаторе, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ - собственная частота контура, $\phi$ - начальная фаза заряда.

Максимальный заряд на конденсаторе соответствует максимальной энергии в контуре:
$$
q_m = C\cdot U_m,
$$
где $U_m$ - максимальная амплитуда напряжения на конденсаторе.

Значение $U_m$ можно определить из краевого условия:
$$
\frac{dq}{dt}\Big|_{t=0} = 0,
$$
так как в момент времени $t=0$ конденсатор заряжен до максимального заряда и начинает разряжаться, а в момент времени $t=\frac{T}{4}$ (где $T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ - период колебаний) конденсатор не имеет заряда и напряжение на нём максимально.

Имеем:
$$
\frac{dq}{dt} = -\omega_0 q_m\sin(\omega_0 t + \phi).
$$
Тогда
$$
\frac{dq}{dt}\Big|_{t=0} = -\omega_0 q_m\sin(\phi) = 0 \Rightarrow \phi = k\pi (k\in\mathbb{Z}).
$$

Таким образом, $q(t) = q_m \cos(\omega_0 t)$ и максимальная энергия в контуре равна:
$$
E_{max} = \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} \frac{q_m^2}{C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(5\cdot10^{-5}\cdot5)^2}{10^{-6}} = 6,25\cdot10^{-3} \text{ Дж}.
$$

2) Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид
$$
\frac{d^2 I}{dt^2} + 8I = 0.
$$
Из него следует, что уравнение колебаний напряжения на катушке имеет вид
$$
\frac{d^2 U}{dt^2} + 8U = 0,
$$
где $U = L\frac{dI}{dt}$ - напряжение на катушке. Решением этого уравнения является
$$
U(t) = U_m \cos(2t+\phi),
$$
где $U_m$ - максимальная амплитуда напряжения на катушке, $\phi$ - начальная фаза напряжения.

Максимальное напряжение соответствует максимальной амплитуде силы тока:
$$
I_m = \frac{U_m}{\sqrt{L^2\cdot4}} = \frac{U_m}{2L}.
$$

Кроме того, из краевых условий следует, что
$$
\frac{dU}{dt}\Big|_{t=0} = 0,
$$
так как в момент времени $t=0$ напряжение на катушке максимально, и в этот момент её сопротивление для тока максимально, а в момент времени $t=\frac{T}{4}$ (где $T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ - период колебаний) напряжение на катушке минимально, а её сопротивление для тока минимально.

Имеем:
$$
\frac{dU}{dt} = -2U_m \sin(2t+\phi)\Rightarrow \frac{dU}{dt}\Big|_{t=0} = 0 \Rightarrow \phi = k\frac{\pi}{2} (k\in\mathbb{Z}).
$$

Таким образом,
$$
U(t) = U_m \cos(2t)
$$
и
$$
I_m = \frac{U_m}{2L}.
$$

Значение $U_m$ можно найти из начальных условий задачи. Например, если в момент времени $t=0$ напряжение на катушке равно нулю, то
$$
U(t) = U_m \cos(2t) = 0 \Rightarrow U_m = 0.
$$

Если же в момент времени $t=0$ начальное значение напряжения $U_0$, то
$$
U(t) = U_0 \cos(2t) \Rightarrow U_m = U_0.
$$