Question

При разрядке конденсатора ток, идущий через сопротивление, определяется по закону ома I=U/R. Зависимость этого тока от скорости изменения напряжения: I=C*dU/dt. Найдите зависимость напряжения от времени U(t), если R,C-постоянные, и при t=0, U=50 В.

Answer 1

По второму правилу Кирхгофа, i*R+1/C*∫i*dt=0. Так как ∫i*dt=q, а i=dq/dt, где q - заряд, то это уравнение можно переписать в виде R*dq/dt+q/C=0, или dq/dt=-q/(R*C), или dq/q=-dt/(R*C). Интегрируя это уравнение, находим ln(q)=-t/(R*C)+ln(q0), где q0 - заряд на конденсаторе в момент времени t=0.  Отсюда q=q0*e^[-t/(R*C)], а тогда напряжение u=q/C=q0/C*e^[-t/(R*C)]. Ответ: u(t)=q0/C*e^[-t/(R*C)].

Answer 2

Используя закон Ома, можно записать, что ток через сопротивление равен:

I = U/R

Используя зависимость тока от изменения напряжения на конденсаторе, можно записать, что:

I = C dU/dt

Сравнивая эти два выражения, можно получить дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе:

dU/dt = -1/(RC) U

Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

dU/U = -1/(RC) dt

Интегрируя обе стороны, получаем:

ln(U) = -t/(RC) + C1

где C1 - постоянная интегрирования, которая определяется из начальных условий. При t=0, U=50 В, поэтому:

ln(50) = C1

Таким образом, уравнение для напряжения на конденсаторе имеет вид:

U(t) = U0 exp(-t/(RC))

где U0 - начальное значение напряжения на конденсаторе, U0=50 В, R и C - постоянные.