Question

Ширина решётки равна 15 мм, постоянная d=5мкм. В спектре какого наименьшего порядка получается раздельное изображение двух спектральных линий с разностью длины волн 1 А, если линии лежат в красной части спектра вблизи от 700 до 780 нм?

Answer 1

Дано:

L = 15 мм = 15·10⁻³ м

d =5 мкм = 5·10⁻⁶ м

Δλ = 1 А = 1·10⁻¹⁰ м

λ₁ = 700 нм = 700·10⁻⁹ м

λ₂ = 780 нм = 780·10⁻⁹ м

_________________

m - ?

Решение:

Число штрихов решетки:

N = L / d = 15·10⁻³/ 5·10⁻⁶ = 3000

Из выражения

λ/Δλ = m·N

находим

m = λ / (N·Δλ)

При λ = 700 нм:

m₁ = 700·10⁻⁹ / (3000·1·10⁻¹⁰) ≈2,3  (принимаем m = 2)

При λ = 780 нм:

m₁ = 780·10⁻⁹ / (3000·1·10⁻¹⁰) =2,6  (всё равно принимаем m = 2)

Ответ:

m = 2 (спектр второго порядка)

Answer 2

Для того чтобы получить раздельное изображение двух спектральных линий, необходимо, чтобы расстояние между ними в спектре было не меньше, чем постоянная решетки d, то есть:

d >= lambda / sin(theta),

где lambda - длина волны, theta - угол дифракции.

Для нахождения угла дифракции воспользуемся формулой:

sin(theta) = m * lambda / d,

где m - порядок спектра.

Таким образом, для разделения двух спектральных линий с разностью длины волн 1 А, необходимо, чтобы:

d >= lambda / sin(theta) = lambda * d / (m * lambda) = d / m.

Тогда наименьший порядок спектра, при котором это возможно, равен:

m = d / delta_lambda = 5 * 10^(-6) м / (1 * 10^(-10) м) = 50 000.

Для спектральных линий в красной части спектра с длиной волны от 700 до 780 нм, соответствующей угол дифракции для порядка m=50 000 будет:

sin(theta) = m * lambda / d = 50 000 * 700 * 10^(-9) м / 5 * 10^(-6) м = 7,

откуда следует, что угол дифракции превышает 90 градусов, что не является физически возможным.

Таким образом, при данных условиях раздельное изображение двух спектральных линий с разностью длины волн 1 А невозможно.