Question

Механика. 1.Определить уравнение траектории точки. 2. Определить скорость точки . 3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.(можно и без него) Дано - x=3t^2+4, y=2t-1, t=1с. Найти - y(x), V(1).

Answer 1

1) Чтобы написать уравнение точки необходимо из заданных уравнений исключить время:
y = 2t-1
2t = y+1
t = (y+1)/2

x = 3*t²+4 = 3*(y+1)²/4 + 4 
Это уравнение ПАРАБОЛЫ с осью симметрии направленной по оси ОХ.
Находим .y(x):
(x -4) = 3*(y+1)²/4
4*(x -4) = 3*(y+1)²
(y+1)² = 4*(x-4)/3
| y+1| = √ (4*(x-4)/3)
Окончательно:
y(x) = +√ (4*(x-4)/3) -1 - верхняя ветвь параболы
y(x) = - √ (4*(x-4)/3) -1 - нижняя ветвь параболы

2) Скорость - первая производная от координаты:
Vx = x' = 6*t
Vy = y' = 2
V(t) = √ ((6t)² + 2²) = √ (36*t² + 4)

Находим:
V(1) =  √ (36*1² + 4)= √40 ≈ 6,3 м/с

3) Строим график:

  

Answer 2

Для определения уравнения траектории точки нужно выразить переменную t через x и подставить это выражение в уравнение y(t):

x = 3t^2 + 4 3t^2 = x - 4 t^2 = (x - 4) / 3 t = +/- sqrt((x - 4) / 3)

Поскольку t является функцией x, можно записать y(x) в виде:

y(x) = 2 * sqrt((x - 4) / 3) - 1 или y(x) = -2 * sqrt((x - 4) / 3) - 1

Чтобы определить скорость точки в момент времени t=1с, нужно вычислить производные x(t) и y(t) и подставить t=1:

x(t) = 3t^2 + 4 x'(t) = 6t x'(1) = 6

y(t) = 2t - 1 y'(t) = 2 y'(1) = 2

Скорость точки в момент времени t=1с будет равна:

V(1) = sqrt(x'(1)^2 + y'(1)^2) = sqrt(6^2 + 2^2) = sqrt(40) = 2sqrt(10)

Для построения траектории можно использовать найденное уравнение y(x). На чертеже точка будет двигаться по параболе вверх или вниз в зависимости от выбора знака. Вектор скорости в точке (x,y) будет направлен касательно к траектории и будет иметь координаты (x'(t), y'(t)). Вектор ускорения будет направлен к центру кривизны траектории и будет иметь координаты (x''(t), y''(t)).