Question

Сделанный из легкого материала канат плавает на поверхности воды. Если к концу каната привязать гирю, она погружается на глубину h, увлекая за собой часть каната. На какую глубину погрузится гиря, если ее привязать к канату на расстоянии h 4 от его конца?

Answer 1

Из рисунка ясно, что погрузится на (3/4)h.

Answer 2

Давайте обозначим длину каната как L, пусть M - масса гири, а ρ - плотность воды.

Когда гиря находится на конце каната, сила Архимеда, действующая на нее, равна весу гири, т.е. Мg. Так как канат легкий, его вес можно пренебречь. Поэтому на гирю действует только сила тяжести, и она погружается на глубину h: Мg = ρVg V = М/ρ V = ρlS, где l - длина каната, а S - площадь его поперечного сечения. Обозначим через x расстояние от места крепления груза до поверхности воды. Тогда объем каната, оставшийся над грузом, равен: V' = Sx(h - x/4) Общий объем каната равен: V = S(h + l) Таким образом, объем воды, вытесненной гирей, равен: ΔV = V - V' = S(h + l) - Sx(h - x/4) ΔV = S[(h + l) - x(h - x/4)] Но мы знаем, что объем воды, вытесненной гирей, равен ее объему: ΔV = М/ρ S[(h + l) - x(h - x/4)] = М/ρ S(h + l) - Sx(h - x/4) = М/ρ Sh + Sl - Shx/4 - Sxh + Sx^2/4 = М/ρ Sx^2/4 - Shx/4 + (Sl - М/ρ) = 0 Перенесем всё в левую часть и решим квадратное уравнение: Sx^2/4 - Shx/4 + (Sl - М/ρ) = 0 x^2 - 4hx + 4l(ρh - М)/S = 0 x = [4h ± sqrt((4h)^2 - 4(4l(ρh - М)/S))] / 2 x = 2h ± sqrt(h^2 - l(ρh - М)/S)

Мы должны выбрать знак +, чтобы x было максимальным. Таким образом, глубина погружения груза будет равна: h' = 2h + sqrt(h^2 - l(ρh - М)/S)

Это и есть ответ на задачу. Осталось только подставить известные значения и решить численно.