Question

Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота, если средняя арифметическая скорость их 453 м/с и за 1 с происходит в среднем 7,55*10^9 столкновений.

Answer 1

Чтобы определить среднее число столкновений молекулы с другими в единицу времени , сначала рассмотрим движение одной молекулы среди неподвижных молекул. Траектория нашей движущейся молекулы – ломаная линия. Опишем вокруг траектории цилиндр так, что ось цилиндра совпадает с траекторией молекулы, а радиус равен . Площадь его основания равна . Цилиндр – тоже ломаный (рис..2.2).Столкновение произойдёт, если центр какой-либо молекулы попадёт в этот ломаный цилиндр. За время  путь молекулы равен ; это – длина цилиндра. Объём цилиндра равен . Число молекул, центры которых попали в цилиндр, равно ; это и есть число столкновений нашей молекулы с другими за время . За единицу времени число столкновений будет равно

(1.4)

Если молекулы движутся, в (7.4) надо заменить среднюю скорость  на среднюю относительную скорость, тогда:

. (1.5)

Относительная скорость – скорость первой молекулы относительно второй – равна:

, (1.6)

где и– скорости первой и второй молекул соответственно. Возведём (7.6) в квадрат и усредним:

Здесь  – угол между векторами  и ; , поскольку угол может принимать любые значения с равной вероятностью из-за хаотичности движения молекул. Кроме того, , тогда , и среднеквадратичная относительная скорость

.

Аналогично, для средних арифметических скоростей . Из (7.5) и (7.3) получим:

. (1.7)

Наконец, средняя длина свободного пробега из (7.2):

,

, (1.8)

. (1.8а)

Поскольку для идеального газа , то из (7.8)

.

Answer 2

Средняя длина свободного пробега молекул азота может быть вычислена с использованием формулы:

λ = v/ν

где λ - средняя длина свободного пробега, v - средняя арифметическая скорость молекул азота, и ν - средняя частота столкновений молекул азота.

Для вычисления λ, необходимо знать ν. Мы знаем, что за 1 с происходит в среднем 7,55*10^9 столкновений. Однако это количество относится к парным столкновениям, а не к общему числу столкновений. Количество общих столкновений можно вычислить, разделив это значение на 2:

ν = 7,5510^9 / 2 = 3,77510^9

Теперь мы можем вычислить среднюю длину свободного пробега:

λ = 453 / 3,77510^9 = 1,2010^-7 м

Таким образом, средняя длина свободного пробега молекул азота равна 1,20*10^-7 м.