Question

Одну четверть времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч, а остальную часть времени- со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, ели на весь путь он затратил 4 часа.

Answer 1

81 км/ч средняя скорость

Answer 2

Пусть первая часть времени, которую автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч, равна t часам. Тогда оставшаяся часть времени, которую автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, равна (4 - t) часам.

За время t автомобиль проехал расстояние, равное:

d1 = 72 км/ч * t = 72t км

А за время (4 - t) часов автомобиль проехал расстояние, равное:

d2 = 90 км/ч * (4 - t) = 360 - 90t км

Всего автомобиль проехал расстояние:

d = d1 + d2 = 72t + 360 - 90t = 360 - 18t км

Средняя скорость автомобиля на всем пути равна:

v = d / t = (360 - 18t) / 4 км/ч

Чтобы найти среднюю скорость, нужно найти t, для которого v будет максимальной.

Можно заметить, что v является унимодальной функцией от t. Это означает, что сначала она возрастает, а затем убывает. Максимум этой функции находится в точке, где её производная равна нулю.

Найдём производную v по t:

v'(t) = -18/4 = -4.5

Так как производная постоянна и отрицательна, то это означает, что функция v убывает на всей области определения.

Следовательно, чтобы найти максимальное значение v, нужно найти значение t на границах области определения. Это означает, что нужно проверить значения t = 0, t = 4/3 и t = 4.

v(0) = 360 / 4 = 90 км/ч v(4/3) = (360 - 18*(4/3)) / 4 = 83 км/ч v(4) = 0 км/ч

Максимальное значение v равно 90 км/ч, которое достигается, когда автомобиль проезжает первую четверть времени со скоростью 72 км/ч и оставшуюся трёхчетверти времени со скоростью 90 км/ч.

Средняя скорость автомобиля на всем пути равна 90 км/ч.