Question

Точка движется по окружности радиусом R=3см. Зависимость пути от времени описывается уравнением s=0,3t^3+0,15t^2 (см). Определите нормальное an и тангенциальное at ускорение точки в момент времени t=1 с.

Answer 1

Для начала найдём скорость точки по уравнению пути. Скорость - это изменение пути за единицу времени:

$v = \frac{ds}{dt} = 3*0,3t^{2}+2*0,15t$

Тангенциальное ускорение - изменение скорости по модулю (то есть оно показывает, меняется ли скорость вообще). В момент t = 1:

$a_{τ} = \frac{dv}{dt} = 2*3*0,3t+2*0,15 = 1,8t+0,3 = 1,8+0,3 = 2,1$ м/с

Нормальное ускорение - изменение скорости по направлению (например при повороте). Для t = 1 получается так:

$a_{n} = \frac{v^{2} }{r} = \frac{9 * 0,09t^{2} + 2*3*0,3t^{2}*2*0,15t + 4*0,0225t^{2} }{9} = \frac{0,81t^{4} + 0,54t^{3}+0,09t^{2} }{9} = \frac{1,44 }{9} = 0,16$ м/с

Answer 2

Для определения нормального и тангенциального ускорения точки, мы сначала должны вычислить радиус-вектор точки в момент времени t=1 секунда. Затем мы можем использовать формулу для вычисления ускорения на основе радиус-вектора.

Радиус-вектор точки r(t) в данном случае может быть вычислен из уравнения пути s(t):

s(t) = 0,3t^3 + 0,15t^2

Для определения радиус-вектора r(t) мы можем взять производную от уравнения пути по времени:

r(t) = dr(t)/dt = d(0,3t^3 + 0,15t^2)/dt

Производная по времени от t^3 равна 3t^2, а производная по времени от t^2 равна 2t. Поэтому:

r(t) = 3 * 0,3t^2 + 2 * 0,15t = 0,9t^2 + 0,3t

Теперь мы можем вычислить радиус-вектор точки в момент времени t=1 секунда:

r(1) = 0,9 * 1^2 + 0,3 * 1 = 1,2 см

Нормальное ускорение an можно вычислить, взяв вторую производную от уравнения пути по времени:

an = d^2s(t)/dt^2 = d^2(0,3t^3 + 0,15t^2)/dt^2

Производная по времени от 0,3t^3 равна 0,9t^2, а производная по времени от 0,15t^2 равна 0,3t. Поэтому:

an = 2 * 0,9t + 0,3 = 1,8t + 0,3

Подставляя t=1 секунда, мы можем вычислить нормальное ускорение:

an = 1,8 * 1 + 0,3 = 2,1 см/с^2

Тангенциальное ускорение at можно вычислить, взяв первую производную от радиус-вектора по времени:

at = dr(t)/dt = d(0,9t^2 + 0,3t)/dt

Производная по времени от 0,9t^2 равна 1,8t, а производная по времени от 0,3t равна 0,3. Поэтому:

at = 1,8t + 0,3

Подставляя t=1 секунда, мы можем вычислить тангенциальное ускорение:

at = 1,8 * 1 + 0,3 = 2,1