Question

Диск массой m=5 кг вращается с частотой n1= 5 ñ-1 .Определить работу, которую надо совершить, чтобы частота вращения диска увеличилась до n2= 15 ñ-1 . Радиус диска равен R=20 см.

Answer 1

Омега1=2пиn1=2*3.14*5=31.4 рад/с
v1=омега1*R=31.4*0.2=6.28 м/с
A1=mv1^2/2=5*6.28^2/2=98.596 Дж
омега2=94.2 рад/с
v2=18.84 м/с
A2=887.364 Дж
дельта A=A2-A1=788.768Дж

Answer 2

Чтобы определить работу, необходимую для увеличения частоты вращения диска, мы можем использовать принцип сохранения момента импульса. Момент импульса J вращающегося тела определяется как произведение момента инерции I на угловую скорость ω:

J = I * ω

В данном случае момент инерции диска I зависит от его массы и радиуса и может быть вычислен как:

I = (1/2) * m * R^2

Перейдем к вычислению момента импульса J1 при исходной частоте вращения:

J1 = I * ω1

J1 = (1/2) * m * R^2 * ω1

Затем рассмотрим момент импульса J2 при новой частоте вращения:

J2 = I * ω2

J2 = (1/2) * m * R^2 * ω2

Поскольку момент импульса должен сохраняться, можно записать:

J1 = J2

(1/2) * m * R^2 * ω1 = (1/2) * m * R^2 * ω2

Отсюда можно сократить массу и радиус диска:

ω1 = ω2

Теперь мы можем определить разницу между начальной и конечной кинетической энергией диска, которую нужно предоставить, чтобы изменить его частоту вращения:

ΔK = K2 - K1

ΔK = (1/2) * I * ω2^2 - (1/2) * I * ω1^2

ΔK = (1/2) * (1/2) * m * R^2 * ω2^2 - (1/2) * (1/2) * m * R^2 * ω1^2

ΔK = (1/4) * m * R^2 * (ω2^2 - ω1^2)

Теперь, подставляя значения, получим:

ΔK = (1/4) * 5 kg * (0.2 m)^2 * ((15 rad/s)^2 - (5 rad/s)^2)

ΔK = (1/4) * 5 kg * (0.04 m^2) * (225 rad^2/s^2 - 25 rad^2/s^2)

ΔK = (1/4) * 5 kg * (0.04 m^2) * 200 rad^2/s^2

ΔK = 5 * 0.04 * 200 J

ΔK = 40 J

Таким образом, работа, которую нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения диска с 5 ñ-1 до 15 ñ-1, составляет 40 Дж (джоулей).