Question

Лестница, приставленная к вертикальной стене, падает в результате скольжения её основания по полу.Каково отнощение модулей скоростей V(верх)/V(низ) в тот момент , когда угол между лестницей и стеной равен 30 градусов?

Answer 1

В силу неизменности длины лестницы, проекции обеих скоростей на прямую, в которой лежит лестница - одинаковы:
$V_{gor}\cos\alpha=V_{vert}\sin\alpha; \alpha=30 grad.$
$\frac{V_{gor}1}{V_{vert}}=tg\alpha$

Answer 2

Для решения этой задачи, можно использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

При движении лестницы по полу от основания до вершины, энергия потенциальная преобразуется в энергию кинетическую. Мы можем сравнить эти энергии в начальном и конечном положениях лестницы.

В начальном положении, когда угол между лестницей и стеной равен 30 градусов, лестница находится в покое. Таким образом, энергия кинетическая в начальном положении равна нулю.

В конечном положении, когда лестница падает и угол между лестницей и стеной увеличивается, энергия потенциальная преобразуется в энергию кинетическую. При этом, энергия потенциальная зависит от высоты лестницы, а энергия кинетическая - от скорости.

Момент импульса в начальном положении равен нулю, так как лестница находится в покое. В конечном положении, момент импульса сохраняется.

По закону сохранения энергии и момента импульса можно записать следующие уравнения:

mgh = (1/2)mV_верх^2 mv_низL = Iω

где m - масса лестницы, g - ускорение свободного падения, h - высота лестницы, V_верх - скорость верхней точки лестницы, V_низ - скорость нижней точки лестницы, L - длина лестницы, I - момент инерции лестницы относительно оси вращения (можно считать, что ось вращения проходит через основание лестницы), ω - угловая скорость лестницы.

Так как у нас нет информации о конкретных значениях, предположим, что масса лестницы и её геометрические параметры известны. Пусть масса лестницы равна m, длина лестницы - L, и момент инерции относительно оси вращения равен I.

Мы можем упростить уравнения, удалив массу лестницы из обоих уравнений:

gh = (1/2)V_верх^2 v_низL = Iω

Также, заметим, что ω = V