Question

Найти производную от: 1) y=3x lnx-x^32)y=x^2 sinx+2x cosx-2sinx3)y= (3x+2)/(2x+3)4)y=sqrt(2-3х^4)

Answer 1

Конечно, давайте по очереди найдем производные от данных функций.

1) \( y = 3x + \ln x - x^3 \)

Для нахождения производной функции суммы, мы находим производные каждого слагаемого по отдельности: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(\ln x) - \frac{d}{dx}(x^3) \]

- Производная по \(x\) от \(3x\) равна 3. - Производная по \(x\) от \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\). - Производная по \(x\) от \(x^3\) равна \(3x^2\).

Таким образом, итоговая производная: \[ \frac{dy}{dx} = 3 + \frac{1}{x} - 3x^2 \]

2) \( y = x^2 + \sin x + 2x + \cos x - 2\sin x \)

Аналогично: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(\cos x) - \frac{d}{dx}(2\sin x) \]

- Производная по \(x\) от \(x^2\) равна \(2x\). - Производная по \(x\) от \(\sin x\) равна \(\cos x\). - Производная по \(x\) от \(2x\) равна 2. - Производная по \(x\) от \(\cos x\) равна \(-\sin x\). - Производная по \(x\) от \(2\sin x\) равна \(2\cos x\).

Таким образом, итоговая производная: \[ \frac{dy}{dx} = 2x + \cos x + 2 - \sin x - 2\cos x \]

3) \( y = \frac{3x + 2}{2x + 3} \)

Используем правило дифференцирования частного: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 3) \cdot \frac{d}{dx}(3x + 2) - (3x + 2) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3)}{(2x + 3)^2} \]

- Производная по \(x\) от \(3x + 2\) равна 3. - Производная по \(x\) от \(2x + 3\) равна 2.

Подставим в формулу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 3) \cdot 3 - (3x + 2) \cdot 2}{(2x + 3)^2} \]

Упростим выражение: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6x + 9 - 6x - 4}{(2x + 3)^2} = \frac{5}{(2x + 3)^2} \]

4) \( y = \sqrt{2 - 3x^4} \)

Применим цепное правило: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2 - 3x^4}} \cdot \frac{d}{dx}(2 - 3x^4) \]

- Производная по \(x\) от \(2 - 3x^4\) равна \(-12x^3\).

Подставим в формулу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-6x^3}{\sqrt{2 - 3x^4}} \]

Таким образом, мы нашли производные от всех четырех данных функций.