Question

Найдите все целые решения неравенства: 0,7^|x+2|>=0,7^0,5

Answer 1

Давайте разберемся с этим неравенством.

\[0.7^{|x + 2|} \geq 0.7^{0.5}\]

Сначала заметим, что \(0.7^{0.5}\) равно \(\sqrt{0.7}\). Теперь мы можем переписать неравенство:

\[0.7^{|x + 2|} \geq \sqrt{0.7}\]

Теперь давайте избавимся от основания 0.7, возведя обе стороны неравенства в квадрат:

\[0.7^{|x + 2|} \geq \sqrt{0.7}\]

\[\left(0.7^{|x + 2|}\right)^2 \geq \left(\sqrt{0.7}\right)^2\]

\[0.7^{2 |x + 2|} \geq 0.7\]

Теперь у нас есть неравенство, в котором основание 0.7 одинаково с обеих сторон. Мы можем упростить его, подставив \(0.7 = 7^{-1}\):

\[7^{-2 |x + 2|} \geq 7^{-1}\]

Теперь у нас есть равенство степеней с одинаковым основанием. Согласно свойствам степеней, мы можем приравнять показатели степени:

\[-2 |x + 2| \geq -1\]

Теперь давайте разделим обе стороны на -2, помня, что при делении на отрицательное число меняется направление неравенства:

\[|x + 2| \leq \frac{1}{2}\]

Теперь у нас есть неравенство с абсолютным значением. Решениями этого неравенства будут все значения \(x\), для которых выражение \(x + 2\) находится в интервале от \(-\frac{1}{2}\) до \(\frac{1}{2}\).

\[-\frac{1}{2} \leq x + 2 \leq \frac{1}{2}\]

Теперь вычтем 2 из всех частей неравенства:

\[-\frac{5}{2} \leq x \leq -\frac{3}{2}\]

Итак, решением исходного неравенства является множество всех \(x\), удовлетворяющих условию \(-\frac{5}{2} \leq x \leq -\frac{3}{2}\).