Question

На гиперболе 9х² - 16у² = 144 найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого.

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится знание о геометрических свойствах гиперболы. Гипербола - это геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фокусов постоянна. В данном случае у нас есть гипербола с уравнением 9х² - 16у² = 144.

Нахождение фокусов гиперболы:

Для начала найдем фокусы гиперболы. Формула для нахождения фокусов гиперболы с уравнением вида (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 имеет вид (h±c, k), где c = sqrt(a² + b²).

В нашем случае уравнение гиперболы имеет вид 9х² - 16у² = 144. Поэтому a² = 9 и b² = -16. Но так как b² отрицательное, то мы можем записать уравнение в виде (x-h)²/(-a²) - (y-k)²/b² = 1. Таким образом, a² = -9 и b² = 16.

Теперь мы можем найти фокусы гиперболы, используя формулу: c = sqrt(a² + b²). Подставим значения a² и b² в формулу и найдем c: c = sqrt((-9) + 16) = sqrt(7).

Таким образом, фокусы гиперболы находятся в точках (±sqrt(7), 0).

Нахождение точек, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого:

Теперь мы можем найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого. Пусть точка на гиперболе имеет координаты (x, y).

Расстояние от точки (x, y) до левого фокуса (sqrt(7), 0) равно sqrt((x - sqrt(7))² + y²). Расстояние от точки (x, y) до правого фокуса (-sqrt(7), 0) равно sqrt((x + sqrt(7))² + y²).

Согласно условию задачи, расстояние от левого фокуса до точки вдвое меньше, чем расстояние от правого фокуса до точки. Мы можем записать это в виде уравнения:

sqrt((x - sqrt(7))² + y²) = 2 * sqrt((x + sqrt(7))² + y²).

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x - sqrt(7))² + y² = 4 * (x + sqrt(7))² + 4 * y².

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x² - 2 * sqrt(7) * x + 7 + y² = 4 * x² + 8 * sqrt(7) * x + 28 + 4 * y².

Перенесем все члены с x и y на одну сторону уравнения:

3 * x² + 2 * sqrt(7) * x + 3 * y² - 21 = 0.

Таким образом, точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого, удовлетворяют уравнению 3 * x² + 2 * sqrt(7) * x + 3 * y² - 21 = 0.

Заключение:

Мы рассмотрели гиперболу с уравнением 9х² - 16у² = 144 и нашли ее фокусы. Затем мы нашли уравнение для точек, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого. Уравнение таких точек имеет вид 3 * x² + 2 * sqrt(7) * x + 3 * y² - 21 = 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ был получен на основе предоставленного уравнения гиперболы и геометрических свойств гиперболы.