Question

В первой урне 3 белых и 4 черных шара во второй 2 белых и 3 черных в третьей 6 белых и 2 черных шаров. из наугад выбранной урны наудачу вынимают шар. какова вероятность что он белый ?

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу полной вероятности. Пусть \( A_1, A_2, A_3 \) - события, заключающиеся в том, что шар выбран из первой, второй или третьей урны соответственно, а \( B \) - событие выбора белого шара. Тогда вероятность выбора белого шара можно выразить следующим образом:

\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3) \]

где \( P(A_1), P(A_2), P(A_3) \) - вероятности выбора урны первого, второго и третьего типа соответственно, а \( P(B|A_1), P(B|A_2), P(B|A_3) \) - условные вероятности выбора белого шара при условии, что урна первого, второго или третьего типа.

Для нахождения этих вероятностей, мы используем отношение числа белых шаров к общему числу шаров в каждой урне:

\[ P(B|A_1) = \frac{3}{3+4}, \quad P(B|A_2) = \frac{2}{2+3}, \quad P(B|A_3) = \frac{6}{6+2} \]

Теперь подставим эти значения в формулу полной вероятности:

\[ P(B) = P(A_1) \cdot \frac{3}{7} + P(A_2) \cdot \frac{2}{5} + P(A_3) \cdot \frac{6}{8} \]

Вероятности выбора урн равны:

\[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \]

Теперь мы можем вычислить \( P(B) \):

\[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{8} \]

\[ P(B) = \frac{1}{7} + \frac{2}{15} + \frac{1}{4} \]

\[ P(B) = \frac{15 + 14 + 21}{105} \]

\[ P(B) = \frac{50}{105} \]

\[ P(B) = \frac{10}{21} \]

Таким образом, вероятность того, что выбранный шар белый, равна \( \frac{10}{21} \).