Question

Найдите наибольшее значение функции y = log5 (6x - x^2 + 16)

Answer 1

Для нахождения наибольшего значения функции y = log5(6x - x^2 + 16), мы должны определить, когда производная этой функции равна нулю. Когда производная равна нулю, это может указывать на максимум или минимум функции.

Давайте найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

y = log5(6x - x^2 + 16)

y' = (1/ln(5)) * (1 / (6x - x^2 + 16)) * (6 - 2x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(1/ln(5)) * (1 / (6x - x^2 + 16)) * (6 - 2x) = 0

Уравнение будет равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

6 - 2x = 0

Решим это уравнение для x:

2x = 6 x = 3

Теперь у нас есть критическая точка x = 3. Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна, это будет указывать на минимум, а если она отрицательна, это будет указывать на максимум.

Давайте найдем вторую производную:

y'' = (1/ln(5)) * (1 / (6x - x^2 + 16))^2 * (2x^2 - 12x + 14)

Теперь подставим x = 3 во вторую производную:

y''(3) = (1/ln(5)) * (1 / (6*3 - 3^2 + 16))^2 * (2*3^2 - 12*3 + 14)

Вычислим значение:

y''(3) = (1/ln(5)) * (1 / (18 - 9 + 16))^2 * (2*9 - 36 + 14) = (1/ln(5)) * (1 / 25)^2 * (18 - 36 + 14) = (1/ln(5)) * (1/25) * (-4) = -4 / (25 * ln(5))

Значение y''(3) отрицательное, поэтому у нас есть максимум функции y = log5(6x - x^2 + 16) в точке x = 3.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции, мы можем подставить x = 3 в исходную функцию:

y = log5(6*3 - 3^2 + 16) = log5(18 - 9 + 16) = log5(25) = 2

Таким образом, наибольшее значение функции y = log5(6x - x^2 + 16) равно 2, и оно достигается при x = 3.