Question

Помогите с олимпиадой: 1) Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа 133355555 получить число 123456789? 2) Внутри квадрата ABCD отмечены точки К и М (точка М находит- ся внутри треугольника ABD, точка К - внутри ВМС") так, что треугольники ВАМ и DKM равны (AM = KM, BM = MD, AB = KD), Найдите Угол KCM, если Угол AMB = 100° 3) (картинка 1): Квадрат 6 х 6 разрезали на четырехклеточные и пятиклеточные фигуры, равные показанными на рисунке (обе фигуры участвовали в разрезе). Сколько таких фигур было использовано? 4) Даны квадратные трехчлены x^{2} + ax + b, x^{2} + bx + d, x^{2} + ex + f Оказалось, что любые 2 из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трех: \frac{a^{2}+c^{2}-e^{2}}{4} > b + d - f \frac{e^{2}+c^{2}-a^{2}}{4} > d + f - b \frac{e^{2}+a^{2}-c^{2}}{4} > f + b - d

Answer 1

1) Сумма цифр 35, последняя пятерка, нечетное. Все цифры в 133355555 тоже нечетные. Если заменим любую нечетную цифру на нечетную, то сумма цифр нового числа снова будет нечетной, и т.д. То есть мы никогда не получим последнюю цифру суммы четной, и получить число, содержащее четные цифры не возможно.

2)  Поскольку ВМ=МD, значит М лежит на диагонали АС. В треугольнике АМВ угол ∠АМВ=100°, а ∠ВАМ=45°, значит ∠АВМ=180°-100°-45°=35°

Треугольник ВАМ равен DKM, также BAM равен DAM/

Значит ∠КDC = ∠ADC-∠ADM-∠MDK = 90-35-35=20°

Но СD=AB=KD, значит треугольник КDС равнобедренный, и угол КСD равен (180-20)/2 = 80°

А искомый угол KCM равен ∠KCD- ∠ACD = 80°-45°=35°

Ответ: ∠KCM=35°

3) Квадрат можно разрезать на 4+4 фигуры 4*4+4*5=36, по другому 36 не получится.

Фигуры 1,4,5,8 - Г-образные,      2,3,6,7 - w-образные

1    1    2   2   3   4

1    2   2   3   3   4

1    2   3   3   4   4

5   5   6   6   7   8  

5   6   6   7   7   8

5   6    7   7   8   8