Question

8^х-3*4^х+(9*4^х-288/2^х-9) меньше или равно 32

Answer 1

Замена 2^x = y > 0 при любом х. Тогда 8^x = y^3, 4^x = y^2
y^3 - 3y^2 + (9y^2 - 288)/(y - 9) <= 32
y^3 - 3y^2 + (9y^2 - 288)/(y - 9) - 32 <= 0
((y^3 - 3y^2 - 32)(y - 9) + 9y^2 - 288)/(y - 9) <= 0
(y^4 - 3y^3 - 32y - 9y^3 + 27y^2 + 288 + 9y^2 - 288)/(y - 9) <= 0
(y^4 -12y^3 + 36y^2 - 32y)/(y - 9) <= 0
y(y^3 -12y^2 + 36y - 32)/(y - 9) <= 0
y(y^3 - 2y^2 - 10y^2 + 20y + 16y - 32)/(y - 9) <= 0
y(y - 2)(y^2 - 10y + 16)/(y - 9) <= 0
y(y - 2)(y - 2)(y - 8)/(y - 9) <= 0
Получаем вот что. y > 0 при любом х, поэтому на него можно разделить.
(y - 2)^2 = 0 при y = 2 и (y - 2)^2 > 0 при всех остальных y > 0, y = 2 - это решение.
Но на эту скобку тоже можно разделить. Остается
(y - 8)/(y - 9) <= 0
По методу интервалов
y = 2^x Є [8; 9)
x Є [3; log_2 (9) )
И еще есть решение y = 2^x = 2; x = 1
Ответ: x Є {1} U [3; log_2 (9) )