Question

Найдите все пары двузначных натуральных чисел, у которых среднее геометрическое в 25/24 раза меньше среднего арифметического. В ответе укажите наибольшее из средних геометрических для всех таких пар.

Answer 1

Пусть х и у - двузначные натуральные числа.
$\frac{x+y}{2}$ среднее арифметическое
$\sqrt{xy}$ - среднее геометрическое

$\frac{x+y}{2} = \frac{25}{24} \sqrt{xy}$ - по условию

Решаем относительно у, как обычное квадратное уравнение, через дискриминант:

$12 (x+y) = 25 \sqrt{xy} \\ \\ 144(x+y)^2=625xy \\ \\ 144x^2 +288xy +y^2 = 625xy \\ \\ 144y^2 -377xy+144x^2 = 0 \\ \\ y_1 = \frac{16}{9} x \\ y_2 = \frac{9}{16} x$

Осталось подобрать такие двузначные х, чтобы у был тоже двузначным. Для первого корня иксы такие: 18, 27, 36, 45 и 54, а игрек, соответственно: 32, 48, 64, 80 и 96. Для второго корня значения иксов и игреков поменяются местами.

х = 18, у = 32
x = 27, y = 48
x = 36, y = 64
x = 45, y = 80
x = 54, y = 96

Наибольшее среднее геометрическое из указанных пар:
$\sqrt{54*96} = \sqrt{6*9*6*16} =6*3*4 = 72$

Answer 2

Среднее арифметическое двух чисел а и b: (a+b)/2
Среднее геометрическое двух чисел а и b: √(ab)
По условию ср. арифметическое в 25/24 больше ср. геометрического.
25/24*√(ab) = (a + b)/2
25√(ab) = 12(a + b)
Возводим все в квадрат.
625ab = 144(a^2 + 2ab + b^2)
144a^2 + 288ab - 625ab + 144b^2 = 0
144a^2 + 288ab - 625ab + 144b^2 = 0
144a^2 - 337ab + 144b^2 = 0
Делим всё на b^2
144(a/b)^2 - 337(a/b) + 144 = 0
Получили квадратное уравнение относительно (a/b).
D = 337^2 - 4*144*144 = 30625 = 175^2
(a/b)1 = (337 - 175)/288 = 162/288 = 81/144 = 9/16
a = 9x; b = 16x. Оба числа должны быть двузначными, подходят пары:
(a; b) = (18; 32); (27; 48); (36; 64); (45; 80); (54; 96)
(a/b)2 = (337 + 175)/288 = 512/288 = 256/144 = 16/9
a = 16x; b = 9x; получаются пары
(a; b) = (32; 18); (48; 27); (64; 36); (80; 45); (96; 54)
Максимальное среднее геометрическое
√(ab) = √(96*54) = √5184 = 72