Question

Дана треугольная пирамида SABC; O— точка пересечения медиан основания ABC. Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABM, если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку M и середину ребра AB, и прямой SO равен 45◦

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) геометрическим,

2) векторным.

Пусть середина ребра AB - это точка D.  Длину ребра основания примем равной 1.

1) Проведём вертикальную плоскость, проходящую через высоту пирамиды SO и высоту основания CD.

Отрезок МD в этой плоскости перпендикулярен АВ, поэтому угол МDС будет плоским углом между основанием пирамиды и плоскостью АМВ. Он равен 45 градусов.

Чтобы найти угол между прямой BC и плоскостью ABM, спроецируем отрезок ВС на плоскость АВМ.

Точка В останется на месте, а точка С попадёт в точку Е на прямой DМ.

В треугольнике DЕС сторона DС как высота основания равна √3/2.

Углы ЕDС и ЕСD равны по 45 градусов.

DЕ = СЕ = (1/2)DС*√2 = (1/2)*(√3/2)*√2 = √6/4.

Длину ВЕ найдём из прямоугольного треугольника ВЕD.

ВЕ = √((1/2)² + (√6/4)²) = √((1/4) + (6/16)) = √(5/8).

Находим косинус искомого угла ЕВС = α по теореме косинусов:

cos α = (1² + (√(5/8))² - (√6/4)²)/(2*1*√(5/8)) = √10/4.

Ответ: α = arc cos(√10/4) = 0,6591 радиан = 37,761 градуса.

2) Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВС по оси Оу.

По этому способу надо определить высоту точки М.

Пусть проекция точки М на СD это М1.

Так как точка М - середина SC, то DO = OM1 = (1/3)DC.

С учётом угла 45 градусов, DM1 = MM1 = (2/3)DC = (2/3)*(√3/2) = √3/3.

Получаем координаты точек.

А(√3/2; (1/2); 0), В(0; 0; 0), М(√3/12; 3/4; √3/3).

По трём точкам уравнение плоскости АВМ:

-0,2887x + 0,5y - 0,5774z + 0 = 0 .

Координаты точки С(0; 1; 0).

Вектор ВС:(0; 1; 0). Модуль 1 .

Вектор нормали плоскости имеет вид:     А B C  

  Ax + By + Cz + D = 0  -0,2887 0,5 -0,5774

                     Модуль 0,8165 .

l m n Ск.произв. 0,5    

     0 1 0 Модуль 1 1  

A B C   sin fi = 0,612372436  

-0,288675135 0,5 -0,577350269 Модуль 0,816496581

fi =0,659058036 радиан  = 37,76124391 градус .