Question

Очень прошу решить этот пример: тема лимиты, решала разными способами, но ответы получаются разные. Проверила на wolframalpha, ответ -1, а как решить не знаю. Помогите пожалуйста! Если что - это задачник Бермана "Сборник задач по курсу мат. анализа", номер 289)

Answer 1

Подставляем х в функцию и получаем неопределённость вида $\frac{ {\infty} }{{\infty}}$
Определяем "икс" в старшей степени и затем делим числитель и знаменатель на него.
$\lim_{x\to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x} }{ \sqrt[4]{x^3+x}-x}= \frac{ {\infty} }{{\infty}}=$(*)
(*)
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x}}{x} }{\frac{ \sqrt[4]{x^3+x}-x}{x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{ \sqrt{x^2+1} }{x}+ \frac{ \sqrt{x} }{x} }{ \frac{ \sqrt[4]{x^3+x}}{x} - \frac{x}{x} } = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{ \sqrt{x^2+1} }{ \sqrt{x^2} }+ \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x^2} } }{ \frac{ \sqrt[4]{x^3+x}}{ \sqrt[4]{x^4} } -1} =$
$=\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt \frac {{x^2+1} }{{x^2} }+{ \sqrt\frac{{x} }{{x^2}} } }{ \sqrt[4]{ \frac{x^3+x}{x} } -1}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }+ \sqrt{ \frac{1}{x} } }{ \sqrt[4]{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^3} }-1 } = \frac{1}{-1}=-1$
В числителе 1/х² →0  и 1/х →0, в знаменателе 1/х→0 и 1/x³→0, поэтому в числителе остаётся √1, а в знаменателе -1. В итоге 1/-1=-1