Question

Решить неравенство (x-1) / (1-√x)<0.

Answer 1

Область допустимых значений неравенства: х>0  и 1-√х≠0,
т.е х≠1
(0;1) U (1; +∞)
При х>0 упростим правую часть неравенства:
$\frac{x-1}{1- \sqrt{x} } = \frac{ (\sqrt{x} -1)( \sqrt{x} +1)}{1- \sqrt{x} } =- \sqrt{x} -1$

Неравенство принимает вид:
-√х-1<0,
-√x<1,
√x>-1  - верно при любом из ОДЗ
Ответ (0;1) U (1:+∞)

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов.

1. Начнем с определения области определения неравенства. В данном случае, неравенство имеет смысл только при значениях x, для которых оба знаменателя не равны нулю. Таким образом, мы можем исключить значения x = 1 и x = 0 из области определения.

2. Разделим неравенство на две части в соответствии с знаком неравенства.

a) Для x < 1: (x - 1) / (1 - √x) < 0 Поскольку знаменатель (1 - √x) всегда положительный при x < 1, неравенство будет сохранять свой знак, если числитель (x - 1) будет отрицательным. Таким образом, неравенство выполняется при x < 1 и x ≠ 0.

b) Для x > 1: (x - 1) / (1 - √x) < 0 В этом случае знаменатель (1 - √x) всегда положительный, поэтому неравенство будет сохранять свой знак, если числитель (x - 1) будет положительным. Таким образом, неравенство выполняется при x > 1.

3. Теперь мы можем объединить оба случая и получить окончательное решение:

x < 1 и x ≠ 0 или x > 1

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, 0) ∪ (1, +∞).