Question

Дана функция: у=2x^3 -9x^2 -3 Найдите: а) промежутки возрастания и убывания б) экстремумы функции в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;4]

Answer 1

Y⁾=6x²-18x=6x(x-3)
x=0; x=3
a)y↑, x∈(-∞;0I∪I3;+∞)
y↓, x∈I0; 3I
б)x max=0; x min=3
b)y(0)=-3
y(-1)-14
y(3)=-30
y(4)=-19
y max=y(0)=-3; y min=y(3)=-30

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 3 необходимо проанализировать значения производной функции.

а) Производная функции f(x) равна: f'(x) = 6x^2 - 18x.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 18x = 0.

Факторизуем это уравнение:

6x(x - 3) = 0.

Из этого уравнения следует, что x = 0, x = 3.

2. Проведем знаковую линию, используя найденные значения x:

0 3 - +

Таким образом, на промежутке (-∞,0) функция f(x) убывает, на промежутке (0,3) функция f(x) возрастает, и на промежутке (3,+∞) функция f(x) снова убывает.

б) Для нахождения экстремумов функции, найдем вторую производную. Производная второго порядка равна: f''(x) = 12x - 18.

1. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю. Решим уравнение f''(x) = 0:

12x - 18 = 0.

Отсюда получаем x = 3/2.

2. Чтобы определить, является ли точка экстремумом, проверим знак второй производной функции f(x) вокруг этой точки:

Знаковая линия:

3/2 -

После анализа видно, что в точке x = 3/2 есть локальный минимум.

в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;4], рассмотрим значения функции в крайних точках и экстремумах.

f(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 3 = -4 - 9 - 3 = -16. f(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 - 3 = 32 - 144 - 3 = -115.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1;4] равно -115, а наибольшее значение равно -16.