Question

Lim x стремится к бесконечности (x/x+1)^x

Answer 1

Lim(x->oo) (x/(x+1))^x = lim(x->oo) (1 - 1/(x+1))^(x+1-1)
По 2 Замечательному пределу это равно e^(-1) = 1/e

Answer 2

Чтобы найти предел этой функции при x стремящемся к бесконечности, можно воспользоваться правилом Лопиталя или применить аналитический подход.

Давайте сначала воспользуемся правилом Лопиталя. Для этого возьмем производную числителя и знаменателя функции по переменной x, и найдем предел их отношения, когда x стремится к бесконечности.

Найдем производную числителя (x/x+1)^x: d/dx [(x/x+1)^x] = (x+1)^x * d/dx [x/x+1]

Найдем производную знаменателя x+1: d/dx [x+1] = 1

Теперь найдем предел отношения производных: lim(x стремится к бесконечности) [(x+1)^x * d/dx [x/x+1]] / 1

Здесь возникает проблема, так как производная числителя имеет вид (x+1)^x, и мы не можем просто вычислить ее предел.

Аналитический подход: Отметим, что (x/x+1)^x эквивалентно (1+1/x)^x, используя факт, что x/x+1 = 1+1/x. Значит, можно переписать функцию в виде (1+1/x)^x и затем найти ее предел при x стремящемся к бесконечности:

lim(x стремится к бесконечности) (1+1/x)^x

Применим свойство пределов:

lim(x стремится к бесконечности) (1+1/x)^x = e

Таким образом, предел функции (x/x+1)^x при x стремящемся к бесконечности равен e, где e - основание натурального логарифма (примерно 2,71828).

Итак, lim(x стремится к бесконечности) (x/x+1)^x = e.