Question

Решите неравенства: 1) 3^x>3 2) (0,25)^x больше или равен 4

Answer 1

1) 3^x>3
3^x>3^1
x>1
2)(0,25)^x больше или равен 4.
2^-2xбольше или равен2^2
-2x больше или раве 2
x меньше или равен -1

Answer 2

1) Решим первое неравенство 3^x > 3:

Для начала, заметим, что 3^x всегда положительно, так как основание 3 положительное число, а показатель степени x может быть любым вещественным числом.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: x > 0. В этом случае, 3^x возрастает с ростом x, поэтому 3^x > 3 для всех положительных x.

Случай 2: x ≤ 0. В этом случае, 3^x убывает с ростом x, поэтому 3^x < 3 для всех отрицательных x.

Итак, решение первого неравенства 3^x > 3: x ∈ (-∞, 0).

2) Решим второе неравенство (0,25)^x ≥ 4:

Перепишем 4 в виде дроби, чтобы облегчить решение: 4 = 4/1.

Теперь применим логарифмы обоих частей неравенства:

log((0,25)^x) ≥ log(4/1)

Так как логарифм является возрастающей функцией, то неравенство сохраняется:

x * log(0,25) ≥ log(4/1)

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: x > 0. В этом случае, log(0,25) < 0, поэтому неравенство становится:

x * log(0,25) ≤ log(4/1)

x * отрицательное число ≤ положительное число

Так как умножение на отрицательное число меняет направление неравенства, то получаем:

x ≥ log(4/1) / log(0,25)

x ≥ log(4) / log(0,25)

Случай 2: x ≤ 0. В этом случае, log(0,25) < 0, поэтому неравенство становится:

x * log(0,25) ≥ log(4/1)

x * отрицательное число ≥ положительное число

Так как умножение на отрицательное число меняет направление неравенства, то получаем:

x ≤ log(4/1) / log(0,25)

x ≤ log(4) / log(0,25)

Итак, решение второго неравенства (0,25)^x ≥ 4: x ≤ log(4) / log(0,25).

Объединяя решения первого и второго неравенств, получаем:

x ∈ (-∞, 0]