Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy=3, y=3√x, x=9.

Answer 1

Ответ:

====================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(xy=3\), \(y=3\sqrt{x}\) и \(x=9\), давайте рассмотрим каждую из них по очереди и определим точки их пересечения.

1. \(xy=3\): Это уравнение представляет собой гиперболу. Мы можем выразить \(y\) через \(x\) следующим образом: \[y = \frac{3}{x}.\]

2. \(y=3\sqrt{x}\): Это уравнение представляет собой параболу. Мы можем записать его в виде: \[y^2 = 3x.\]

3. \(x=9\): Это уравнение представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку \(x=9\).

Теперь найдем точки пересечения этих линий. Подставим значения из одного уравнения в другое и решим систему уравнений.

Для точек пересечения \(xy=3\) и \(y=3\sqrt{x}\) подставим \(\frac{3}{x}\) вместо \(y\) в уравнение \(y=3\sqrt{x}\): \[3\sqrt{x} = \frac{3}{x}.\]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(x\) и соответствующее значение \(y\).

Для точек пересечения \(xy=3\) и \(x=9\) подставим 9 вместо \(x\) в уравнение \(xy=3\): \[9y = 3.\]

Теперь у нас есть координаты точек пересечения. Построим график, чтобы визуализировать фигуру, и вычислим площадь, ограниченную этими линиями.

После того, как мы найдем точки пересечения, нам нужно интегрировать функцию, представляющую верхнюю кривую (максимальное значение \(y\) в каждом сечении), вычитая функцию, представляющую нижнюю кривую (минимальное значение \(y\) в каждом сечении), от \(x\) от начальной точки до конечной точки.

Интеграл для площади фигуры будет следующим: \[A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx,\] где \(f(x)\) - верхняя кривая, \(g(x)\) - нижняя кривая, \(a\) и \(b\) - соответственно, начальная и конечная точки пересечения кривых.

Таким образом, мы можем использовать найденные точки пересечения и интеграл для вычисления площади фигуры.