Question

Найдите длины сторон прямоугольника, у которого длины сторон -натуральные числа, а его площадь численно равна периметру.

Answer 1

Очень простое уравнение
2(a+b) = ab
ab-2b = 2a
b(a-2) = 2a
b = 2a/(a-2) = (2(a-2)+4)/(a-2) = 2 + 4/(a-2)
При а=3 будет b=2+4/1=6, P=S=3*6=18
При а=4 будет b=2+4/2=4, P=S=4*4=16
При а=6 будет b=2+4/4=3, P=S=6*3=18
Это повтор 1 случая.
Больше натуральных решений нет.

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон прямоугольника через \(a\) и \(b\), где \(a\) - длина одной стороны, \(b\) - длина другой стороны. Площадь прямоугольника выражается как произведение его сторон: \(S = a \cdot b\), а периметр равен удвоенной сумме его сторон: \(P = 2 \cdot (a + b)\).

Условие задачи гласит, что площадь численно равна периметру, т.е. \(S = P\). Подставим выражения для площади и периметра и решим уравнение:

\[a \cdot b = 2 \cdot (a + b)\]

Раскроем скобки:

\[ab = 2a + 2b\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ab - 2a - 2b = 0\]

Добавим и вычтем 4 к обеим сторонам уравнения, чтобы преобразовать левую часть:

\[ab - 2a - 2b + 4 - 4 = 4\]

Теперь сгруппируем члены:

\[(a - 2)(b - 2) = 4\]

Таким образом, у нас есть факторизованное уравнение, и мы ищем такие натуральные числа \(a\) и \(b\), что их разность на 2 образует произведение 4.

Мы можем рассмотреть различные пары натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию:

1. \(a - 2 = 1\) и \(b - 2 = 4\) (тогда \(a = 3\) и \(b = 6\)) 2. \(a - 2 = 2\) и \(b - 2 = 2\) (тогда \(a = 4\) и \(b = 4\)) 3. \(a - 2 = 4\) и \(b - 2 = 1\) (тогда \(a = 6\) и \(b = 3\))

Таким образом, у нас есть три пары натуральных чисел, которые соответствуют условиям задачи: (3, 6), (4, 4) и (6, 3).