Question

Найдите все значения а,при которых один из корней уравнения х^2-4х-(а-1)(а-5)=0 равен 2

Answer 1

Х² - 4х - (а - 1)(а - 5) = 0
Данное уравнение является приведённым, т.к. оно имеет вид х² + рх + q = 0. Значит,
х1 × х2 = q = -(а - 1)(а - 5) ; x1 + x2 = -p = -(-4) = 4.
(1) 2 + x2 = 4
x2 = 4 - 2
x2 = 2
(2) 2 × 2 = -(a - 1)(a - 5)
4 = -(a² - 5a - a + 5)
4 = -(a² - 6a + 5)
4 = -a² + 6a - 5
a² - 6a + 5 + 4 = 0
a² - 6a + 9 = 0
(a - 3)² = 0
a = 3
Ответ: при а = 3

Answer 2

Для найти значения \( a \), при которых один из корней уравнения \( x^2 - 4x - (a-1)(a-5) = 0 \) равен 2, мы можем воспользоваться фактом о том, что если один из корней равен 2, то сумма корней равна удвоенной координате вершины параболы \( x = -\frac{b}{2a} \).

Уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где в данном случае \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = -(a-1)(a-5) \). Таким образом, у нас есть парабола \( x^2 - 4x - (a-1)(a-5) = 0 \), и координата вершины этой параболы равна \( x_v = -\frac{b}{2a} \).

В нашем случае: \[ x_v = -\frac{(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \]

Теперь у нас есть условие, что один из корней равен 2, и это соответствует вершине параболы. Таким образом, мы можем записать:

\[ x_1 + x_2 = 2 \cdot 2 \]

Также мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна \(-\frac{b}{a}\). В нашем случае это \( -\frac{(-4)}{1} = 4 \). Так что:

\[ x_1 + x_2 = 4 \]

Теперь мы можем записать уравнение относительно \( a \):

\[ 4 = 2 \cdot 2 \]

Решив это уравнение, мы получаем:

\[ 4 = 4 \]

Это верное утверждение. Таким образом, уравнение \( x^2 - 4x - (a-1)(a-5) = 0 \) имеет корень, равный 2, при любом значении \( a \).