Question

Интеграл x деленное 1+x в квадрате

Answer 1

$\int \frac{x\; dx}{1+x^2} -[\; t=1+x^2\; ,\; dt=2x\, dx\; ,\; x\, dx= \frac{dt}{2}\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\cdot ln|t|+C=\frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(1+x^2)+C \; ;$


$\int \frac{x\; dx}{(1+x)^2}=[\; t=1+x,\; dt=dx\; ]=\int \frac{t-1}{t^2}dt=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2})dt=\\\\=\int \frac{dt}{t}-\int t^{-2}dt=ln|t|-\frac{t^{-1}}{-1}+C=ln|1+x|+\frac{1}{1+x}+C\; ;$

Answer 2

∫(x/(x+1)²)dx=  I x+1=t  x=t-1  dx=t  I    

∫[(t-1)]/t²)dt=∫(1/t)dt+∫(-1/t²)dt= ln It I+1/t+C =lnI x+1 I +1/(x+1)+C 

Answer 3

Конечно! Я могу подробно объяснить, как найти интеграл функции f(x) = x / (1 + x^2).

Интегрирование функции

Для нахождения интеграла этой функции, мы можем использовать метод подстановки. Допустим, у нас есть интеграл ∫ x / (1 + x^2) dx. Для начала, мы можем попробовать сделать подстановку, чтобы упростить интеграл.

Подстановка

Для упрощения интеграла, мы можем сделать подстановку u = 1 + x^2. Затем мы можем продифференцировать обе части уравнения по x, чтобы найти dx в терминах du:

du/dx = 2x dx = du / (2x)

Замена переменных

Теперь мы можем заменить x и dx в нашем интеграле с помощью новой переменной u:

∫ x / (1 + x^2) dx = ∫ (1/u) * (du / (2x))

Упрощение интеграла

После замены переменных, мы можем упростить интеграл:

∫ (1/u) * (du / (2x)) = (1/2) ∫ du / u

Теперь, интегрирование становится гораздо проще.

Интегрирование

∫ du / u = ln|u| + C

Обратная подстановка

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, мы должны вернуться к исходной переменной x, используя обратную подстановку:

ln|u| + C = ln|1 + x^2| + C

Таким образом, интеграл функции f(x) = x / (1 + x^2) равен ln|1 + x^2| + C, где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти интеграл функции x / (1 + x^2). Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!