Question

Помогите найти частные решения уравнения,удовлетворяющие указанным начальным условиям: dy/x-1 = dx/y-2 x0 = 0 y0=4

Answer 1

$(y-2)dy=(x-1)dx\\ \int (y-2)dy=\int (x-1)dx\\ \frac{y^2}{2} -2y= \frac{x^2}{2} -x+C\\ x_0=0;y_0=4\\ \frac{4^2}{2} -2*4=C\\ 8-8=C=0\\\\ y^2-4y-x^2+2x=0$

Answer 2

У вас есть уравнение в дифференциалах, которое имеет вид:

(dy/x - 1) = (dx/y - 2)

и начальные условия:

x₀ = 0, y₀ = 4

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте разберемся.

Метод разделения переменных

1. Перепишем уравнение в виде:

dy/(x - 1) = dx/(y - 2)

2. Теперь мы можем разделить переменные, переместив дифференциалы на одну сторону и переменные на другую:

(y - 2) dy = (x - 1) dx

3. Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(y - 2) dy = ∫(x - 1) dx

4. Выполним интегрирование:

(y^2/2 - 2y) = (x^2/2 - x) + C

Где C - константа интегрирования.

5. Применим начальные условия, чтобы найти значение C. Подставим x₀ = 0 и y₀ = 4:

(4^2/2 - 2 * 4) = (0^2/2 - 0) + C

(8 - 8) = (0 - 0) + C

0 = C

Таким образом, константа интегрирования C равна нулю.

6. Подставим значение C обратно в уравнение:

(y^2/2 - 2y) = (x^2/2 - x)

7. Теперь мы можем найти частные решения, подставляя разные значения x и y. Например, если мы хотим найти решение для x = 1, мы можем решить уравнение относительно y:

(y^2/2 - 2y) = (1^2/2 - 1)

(y^2/2 - 2y) = (-1/2)

y^2 - 4y = -1

y^2 - 4y + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.

Таким образом, вы можете использовать этот метод, чтобы найти частные решения вашего уравнения, удовлетворяющие начальным условиям x₀ = 0 и y₀ = 4.