Question

При каких значениях параметра k неравенство верно при любом х? В ответе укажите наименьшее целое число 4x^2+x+k>0

Answer 1

Единица..................k=1

Answer 2

Для того чтобы неравенство \(4x^2 + x + k > 0\) было верным для любого значения \(x\), дискриминант квадратного трехчлена \(4x^2 + x + k\) должен быть отрицательным, так как это гарантирует, что квадратное уравнение не имеет корней, а значит, знак выражения сохраняется для всех \(x\).

Начнем с вычисления дискриминанта квадратного трехчлена \(4x^2 + x + k\). Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае \(a = 4\), \(b = 1\) и \(c = k\). Подставим эти значения в формулу для вычисления дискриминанта:

\[D = (1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot k = 1 - 16k\]

Чтобы неравенство было выполнено для всех \(x\), дискриминант \(D\) должен быть отрицательным числом:

\[1 - 16k < 0\]

Решим это неравенство относительно \(k\):

\[16k > 1\] \[k > \frac{1}{16}\]

Таким образом, наименьшее целое число \(k\), при котором неравенство \(4x^2 + x + k > 0\) выполняется для всех \(x\), будет \(k = 1/16\).