Question

Решите срочно! sin4x=(1+√2)(sin2x+cos2x-1)

Answer 1

Sin 4x = (1+√2)(sin 2x + cos 2x - 1)
Есть такая формула: sin a + cos a = √2*sin(a + pi/4)
sin 4x = (1+√2)*(√2(sin(2x + pi/4) - 1)
sin 4x = (1+√2)*(√2(sin(2x + pi/4) - √2*1/√2)
sin 4x = (1+√2)*√2(sin(2x + pi/4) - 1/√2)
sin 4x = (√2+2)(sin(2x + pi/4) - sin(pi/4))
Еще есть формула разности синусов:
$sin (a) - sin (b)=2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем
$sin(4x)=( \sqrt{2}+2 )*2sin \frac{2x+pi/4-pi/4}{2}*cos \frac{2x+pi/4+pi/4}{2}$
$2sin(2x)*cos(2x)=( \sqrt{2} +2)*2sin(x)*cos(x+pi/4)$
$4sin(x)*cos(x)*cos(2x)=( \sqrt{2} +2)*2sin(x)*cos(x+pi/4)$
2sin x*(2cos x*cos 2x - (√2+2)*cos(x+pi/4)) = 0
sin x = 0; x1 = pi*k
2cos x*cos 2x - (√2+2)*cos(x+pi/4) = 0
Я не знаю, как решать это уравнение, может, кто-то придумает.
Вольфрам Альфа показывает, что его корни:
x2 = pi/8 + pi*n
x3 = pi/4 + pi*n

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \sin(4x) = (1 + \sqrt{2})(\sin(2x) + \cos(2x) - 1) \).

Для удобства заменим \( \sin(2x) \) и \( \cos(2x) \) через элементарные тригонометрические тождества. Используем следующие соотношения:

\[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Подставим их в уравнение:

\[ \sin(4x) = (1 + \sqrt{2})(2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x) - 1) \]

Теперь преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[ \sin(4x) = 2(1 + \sqrt{2})\sin(x)\cos(x) + (1 + \sqrt{2})(\cos^2(x) - \sin^2(x) - 1) \]

\[ \sin(4x) = 2(1 + \sqrt{2})\sin(x)\cos(x) + (1 + \sqrt{2})\cos^2(x) - (1 + \sqrt{2})\sin^2(x) - (1 + \sqrt{2}) \]

Теперь заметим, что \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Заменим \(\cos^2(x)\) в уравнении:

\[ \sin(4x) = 2(1 + \sqrt{2})\sin(x)\cos(x) + (1 + \sqrt{2})(1 - \sin^2(x)) - (1 + \sqrt{2})\sin^2(x) - (1 + \sqrt{2}) \]

\[ \sin(4x) = 2(1 + \sqrt{2})\sin(x)\cos(x) + (1 + \sqrt{2}) - (1 + \sqrt{2})\sin^2(x) - (1 + \sqrt{2})\sin^2(x) - (1 + \sqrt{2}) \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ \sin(4x) = 2(1 + \sqrt{2})\sin(x)\cos(x) - 2(1 + \sqrt{2})\sin^2(x) - (1 + \sqrt{2}) \]

Теперь попробуем выразить \(\sin(4x)\) через угловые функции меньшего угла. Воспользуемся формулой для удвоенного угла:

\[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \]

Сравним это с нашим уравнением:

\[ \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \]

Теперь видим, что \(2x\) соответствует \(\theta\) в формуле для удвоенного угла. Заменим \(\sin(2x)\) и \(\cos(2x)\):

\[ \sin(4x) = \sin(2\theta) \]

Теперь можем переписать уравнение в виде:

\[ \sin(2\theta) = -2(1 + \sqrt{2})\sin^2(\theta) - (1 + \sqrt{2}) \]

Решим это уравнение для \(\sin(\theta)\) и затем найдем \(\theta\) исходя из замены \(2x = \theta\). Обратите внимание, что уравнение может иметь несколько решений.