Question

Найти неопределённый интеграл способом замены(методом замены переменой ) ∫ cos x/^3√sin x

Answer 1

Sinx=t,dt=-cosxdx
Scosxdx/3√sinx=-Sdt/3√t=-2/3*√t=-2/3*√sinx

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл \(\int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \,dx\) и попробуем найти его, используя метод замены переменной.

Пусть \(u = \sin x\). Тогда дифференциал \(du\) равен \( \cos x \,dx \). Также, мы можем выразить \(\cos x\) через \(u\) с использованием тригонометрической идентичности \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), что приведет к \(\cos x = \sqrt{1 - u^2}\).

Теперь заменим переменные в интеграле:

\[ \int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \,dx = \int \frac{\sqrt{1 - u^2}}{\sqrt[3]{u}} \,du. \]

Теперь у нас есть интеграл относительно переменной \(u\), и мы можем упростить его перед тем как продолжить.

\[ \int \frac{\sqrt{1 - u^2}}{\sqrt[3]{u}} \,du = \int \frac{u^{-1/3}\sqrt{1 - u^2}}{1} \,du. \]

Теперь разложим корень на множители:

\[ \int u^{-1/3}\sqrt{1 - u^2} \,du = \int u^{-1/3}\sqrt{(1 - u)(1 + u)} \,du. \]

Теперь у нас есть произведение двух функций, и мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям:

\[ \int u^{-1/3}\sqrt{(1 - u)(1 + u)} \,du = -\frac{3}{4}u^{2/3}\sqrt{(1 - u)(1 + u)} + \frac{3}{4}\int \frac{u^{2/3}(1 - u)}{\sqrt{1 - u}} \,du. \]

Теперь у нас остался еще один интеграл, который можно решить методом замены переменной или другими методами.

Надеюсь, это поможет вам продолжить решение интеграла.