Question

Натуральное число делящиеся на 65 и в записи которого все цифры одинаковые

Answer 1

65 = 13 * 5
Число должно делиться на 13 и на 5

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. 0 не подойдет, значит последняя цифра 5.
По условию все цифры одинаковые, значит число состоит из пятерок.

Способ, с помощью которого определяем, делится ли число на 13:
Берем число, отделяем 3 последние цифры, вычитаем их из первых цифр, если получили 0 или число, которое делится на 13, значит данное число кратно 13. 
Наше число состоит только из пятерок, нетрудно догадаться, что
555 - 555 = 0, а значит наше число 555555

Ответ: 555555

Answer 2

Рассмотрите такой вариант:
1) 65 оканчивается на 5, поэтому в искомом числе последняя цифра равна тоже 5. Так как по условию все цифры одинаковые, то искомое число состоит только из одних пятёрок: 555, 5555, 55555, 555555 и так далее.
2) По признаку делимости на 13 делится то число, у которого знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13. Для примера можно проверить число 5555: разбивается на 5 и 555 ⇒ 5-555=-550 (не делится на 13!), тогда и 5555 не делится на 13. А число 555555 делится, так как: разбивается на 555 и 555 ⇒ 555-555=0.
3) То же с числами 555555555555 и прочими, в которых количество пятёрок кратно шести.

Answer 3

Давайте разберемся с задачей.

Натуральное число, делящееся на 65, должно быть кратным обоим числам 5 и 13, так как 65 равно произведению этих двух чисел (5 * 13 = 65). Также, для того чтобы все цифры числа были одинаковыми, число должно быть кратным 111...1, где количество единиц равно количеству цифр в этом числе.

Теперь давайте рассмотрим 111...1 как сумму геометрической прогрессии:

111...1 = 1 + 10 + 100 + 1000 + ... + 10^(n-1)

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом a = 1, знаменателем q = 10 и числом членов n. Такая сумма выражается формулой:

S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)

где S_n - сумма первых n членов. В нашем случае n - количество цифр в числе.

Таким образом, для того чтобы число было кратным 111...1 и 65, мы ищем такое n, что число 65 умноженное на S_n (сумма 111...1) является натуральным числом.

Пример: Пусть n = 3 (111). Тогда S_n = (10^3 - 1) / (10 - 1) = 111, и число 65 * 111 = 7215 - это натуральное число.

Таким образом, ответ на ваш вопрос - натуральное число, которое делится на 65 и в записи которого все цифры одинаковые, это 7215.