Question

Найдите промежутки знакопостоянства функции у=x2-9\x2-4

Answer 1

Ищем корни числителя и знаменателя
а) х² - 9 = 0                б) х² - 4 = 0
     х² = 9                         х² = 4
      х = +-3                      х = +-2
-∞  +    -3   -   -2     -   2     -    3      +   +∞     знаки х² -9
      +          +          -           +           +            знаки х² - 4
 Общий "+" на промежутке (-∞;-3)∨-2;2)∨(3;+∞)

Answer 2

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}\), нужно определить, при каких значениях \(x\) функция положительна, отрицательна или равна нулю.

1. Находим нули функции: \[ f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = 0 \]

Нули функции будут значения \(x\), при которых числитель равен нулю: \[ x^2 - 9 = 0 \implies x = -3, \; x = 3 \]

Также нужно учесть, что знаменатель не может равняться нулю, так что \(x \neq -2, 2\).

Получили нули функции в точках \(x = -3\) и \(x = 3\), исключая точки \(x = -2\) и \(x = 2\).

2. Исследование знака функции в интервалах между нулями:

- Интервал между \(-\infty\) и \(-3\): Выберем \(x = -4\) (произвольное значение между \(-\infty\) и \(-3\)): \[ f(-4) = \frac{(-4)^2 - 9}{(-4)^2 - 4} = \frac{16 - 9}{16 - 4} = \frac{7}{12} \] Таким образом, на интервале \((-\infty, -3)\) функция положительна.

- Интервал между \(-3\) и \(-2\): Выберем \(x = -2.5\) (произвольное значение между \(-3\) и \(-2\)): \[ f(-2.5) = \frac{(-2.5)^2 - 9}{(-2.5)^2 - 4} = \frac{6.25 - 9}{6.25 - 4} = -\frac{2.75}{2.25} = -\frac{11}{9} \] На интервале \((-3, -2)\) функция отрицательна.

- Интервал между \(-2\) и \(2\): У нас есть разрыв в функции в точках \(x = -2\) и \(x = 2\), и функция не определена в этих точках. Однако, на интервале \((-2, 2)\) функция будет положительной.

- Интервал между \(2\) и \(3\): Выберем \(x = 2.5\) (произвольное значение между \(2\) и \(3\)): \[ f(2.5) = \frac{(2.5)^2 - 9}{(2.5)^2 - 4} = \frac{6.25 - 9}{6.25 - 4} = -\frac{2.75}{2.25} = -\frac{11}{9} \] На интервале \((2, 3)\) функция отрицательна.

- Интервал между \(3\) и \(+\infty\): Выберем \(x = 4\) (произвольное значение между \(3\) и \(+\infty\)): \[ f(4) = \frac{4^2 - 9}{4^2 - 4} = \frac{16 - 9}{16 - 4} = \frac{7}{12} \] На интервале \((3, +\infty)\) функция положительна.

3. Итог:

- Функция положительна на интервалах \((-\infty, -3)\) и \((3, +\infty)\). - Функция отрицательна на интервалах \((-3, -2)\) и \((2, 3)\). - Функция не определена в точках \(x = -2\) и \(x = 2\).

Таким образом, промежутки знакопостоянства функции \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}\) можно представить в виде:

\[ (-\infty, -3) \cup (-2, 2) \cup (3, +\infty) \]