Question

Докажите, что уравнение xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах.

Answer 1

Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у - 2006) = 20062. 
Уравнение имеет решения, например, х = у = 4012.

Answer 2

Уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.

Для доказательства того, что уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах, мы можем использовать метод подстановки и анализа.

Предположим, что у нас есть целочисленные решения x и y для данного уравнения. Тогда мы можем записать уравнение в следующем виде:

xy - 2006x - 2006y = 0

Теперь давайте попробуем преобразовать это уравнение. Мы можем добавить 2006^2 к обеим сторонам уравнения:

xy - 2006x - 2006y + 2006^2 = 2006^2

Теперь давайте перепишем левую часть уравнения, используя технику факторизации:

(x - 2006)(y - 2006) = 2006^2

Теперь мы видим, что левая часть уравнения представляет собой произведение двух целых чисел (x - 2006) и (y - 2006), а правая часть уравнения является квадратом целого числа 2006.

Таким образом, уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах, так как мы можем выбрать любые два целых числа, которые являются делителями 2006^2, и подставить их вместо (x - 2006) и (y - 2006) соответственно.

Например, если мы выберем x - 2006 = 1 и y - 2006 = 2006^2, то получим:

x = 2007 и y = 2006^2 + 2006

Таким образом, уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.