Question

Два тела, находясь на расстояние 600м, начали двигаться навстречу друг другу. Первое проходит 9 метром в секунду. Второе в первую секунду прошло 3 метра, а в каждую следующую секунду проходит на 4 метра больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд два тела встретятся?

Answer 1

Пусть V - скорость первого тела, пусть a(1) - расстояние проходимое вторым телом за 1 секунду. По условию V=9 м/с, a(1)=3 м

Расстояния, проходимые вторым телом за одну секунду, составляют арифметическую прогрессию с первым членом a(1)  и разностью d=4. Тогда по фомуле общего члена арифметической прогрессии имеем :

   a(n)=a(1)+d*(n-1)=3+4*(n-1)--------(1)

Найдем расстояние S, проходимое вторым телом за n секунд. Очевидно, что S равно сумме S(n)  n первых членов прогрессии a(n):

    S= S(n)=[a(1)+a(n)]*n/2------(2)

Подставляя в (2) вместо a(n) выражение (1) и учитывая, что a(1)=3 м, получим:

       S=[6+4*(n-1)]*n/2 =3n+2*n*(n-1)=2(n^2) + n--------(3)

Найдем значение n, при котором сумма расстояний AC и BC равна AB (см. рис.):

A---------C------------B

где A, B - пункты отправления первого и второго тел соответственно

C - пункт встречи тел

 Итак, AC=V*n=9n,   BC=S=2(n^2) + n

  Тогда  AB=BC+AC=2(n^2) + n + 9n=600, поскольку  AB=600 м по условию

   или  2(n^2) + 10n - 600=0, разделим обе части на два, получим:

        (n^2) + 5n - 300=0 ------(4)

(4) - квадратное уравнение относительно n

   Найдем его дискриминант D=25+4*300=25*(1+12*4)=25*49=(35)^2

Поскольку дискриминант положительный, то уравнение (4) имеет два различных действительных корня, найдем их:

  n1=(-5+35)/2 = 15 с

  n2=(-5-35)/2 = -20 не имеет смысла, т.к. n >0

Итак, тела встретятся через n=n1=15 с

 

 Ответ: n=15 c